Ядро Фейера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, ядро Фейера используется для суммирования по Чезаро рядов Фурье. Функция задается следующей формулой:

\Phi_n(x) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n}D_k(x),

где D_k(x) это ядро Дирихле.


Также это может быть записано в сокращенной форме:

\Phi_{n}(x) = \frac{1}{2(n+1)} \left(\frac{\sin \frac{n+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2,

названо в честь известного венгерского математика Липота Фейера (1880 — 1959).

Соотношение с рядом Фурье[править | править вики-текст]

Пусть f(x) — интегрируема на [-\pi, \pi] и 2\pi-периодическая, тогда \forall x \in \mathbb{R}~\forall n \in \mathbb{N}

\sigma_n(f;x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-u)\Phi_n(u)du = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x-u)+f(x+u))\Phi_n(u)du

Теорема Фейера[править | править вики-текст]

Пусть f(x) — непрерывная, 2 \pi периодическая функция, S_k(x) — частичные суммы ряда Фурье этой функции, а \sigma_n(x) среднее арифметическое этих частичных сумм\sigma_n(x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^{n}{S_k(x)}, называемое также суммой Фейера порядка n.

Тогда \sigma_n(x) равномерно сходится к f(x).

Свойства ядра Фейера[править | править вики-текст]

  • \Phi_n(x) — положительная, 2\pi-периодическая, чётная функция
  • \forall n \in \mathbb{N}~\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi_n(u)du = 1
  • Для любого фиксированного \delta > 0 : \int\limits_{\delta}^{\pi}\Phi_n(u)du \rightarrow 0, \int\limits_{-\pi}^{-\delta}\Phi_n(u)du \rightarrow 0, n \rightarrow \infty

См. также[править | править вики-текст]