Ядро (алгебра)

В различных разделах математики ядром отображения $\ f : A \rightarrow B$ называется некоторое множество $\ker\,f$, в некотором смысле характеризующее отличие $f$ от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения $f$ множество $\ker\,f$ всегда должно быть тривиально. Если множества $A$ и $B$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то $\ker\,f$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ $\mathrm{Im}\,f$ и фактормножество $A / \ker\,f$.

Ядро линейного отображения

Ядром линейного отображения $f:\, V\to U$ называется прообраз нулевого элемента пространства $U$:

$\ker f = \{ x\in V: f(x) = 0 \}$

$\ker f$ является подпространством в $V$. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства $V$. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ $f$ изоморфен фактору пространства $V$ по ядру $f$:

$\mathrm{Im}\,f \simeq V / \ker f.$

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна:

$\dim\ker f + \dim\mathrm{Im}\,f = \dim V,$

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

$f^{-1}(u) = v_0 + \ker f, ~~~ f(v_0) = u, ~~~ v_0\in V, ~ u\in U.$

Теория матриц

Любую прямоугольную матрицу $G$ размера $m \times n$, содержащий элементы поля $K$ (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор $g: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m$ умножения векторов слева на матрицу:

$g(v) = G v,~~~ v \in \mathbb{K}^n$

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с $n$ неизвестными

$\left\{ \begin{matrix} a_{1 1} x_1 + \ldots + a_{1 n} x_n = b_1; \\ \ldots ~~ \ldots ~~ \ldots ~~ \\ a_{m 1} x_1 + \ldots + a_{m n} x_n = b_m. \end{matrix}\right.$

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора $\mathbf{b} = (b_1,\;\ldots,\;b_m)$, а задача о решении однородной системы уравнений ($\mathbf{b}=\mathbf{0}$) сводится к поиску ядра отображения $g$.

Пример

Пусть $f$ будет линейным отображением $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ и:

$f(\vec{x})= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ 0\end{pmatrix}.$

Тогда его ядро является векторным подпространством:

$\ker f = \left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \mid \lambda \in \mathbb R \right\}.$

Гомоморфизм групп

Если $f$ — гомоморфизм между группами, то $\ker f$ образует нормальную подгруппу $A$.

Гомоморфизм колец

Если $f$ — гомоморфизм между кольцами, то $\ker f$ образует идеал кольца $A$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

См. также

• Коядро
• Образ отображения