Ядро (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В различных разделах математики ядром отображения \ f : A \rightarrow B называется некоторое множество \ker\,f, в некотором смысле характеризующее отличие f от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения f множество \ker\,f всегда должно быть тривиально. Если множества A и B обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то \ker\,f также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ \mathrm{Im}\,f и фактормножество A / \ker\,f.

Ядро линейного отображения[править | править исходный текст]

Ядром линейного отображения f:\, V\to U называется прообраз нулевого элемента пространства U:

\ker f = \{ x\in V: f(x) = 0 \}

\ker f является подпространством в V. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства V. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ f изоморфен фактору пространства V по ядру f:

\mathrm{Im}\,f \simeq V / \ker f.

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна:

\dim\ker f + \dim\mathrm{Im}\,f = \dim V,

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

f^{-1}(u) = v_0 + \ker f, ~~~ f(v_0) = u, ~~~ v_0\in V, ~ u\in U.

Теория матриц[править | править исходный текст]

Любую прямоугольную матрицу G размера m \times n, содержащий элементы поля K (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор g: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m умножения векторов слева на матрицу:

g(v) = G v,~~~ v \in \mathbb{K}^n

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с n неизвестными

\left\{ \begin{matrix}  
a_{1 1} x_1 + \ldots + a_{1 n} x_n = b_1; \\
\ldots ~~ \ldots ~~ \ldots ~~ \\
a_{m 1} x_1 + \ldots + a_{m n} x_n = b_m.
\end{matrix}\right.

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора \mathbf{b} = (b_1,\;\ldots,\;b_m), а задача о решении однородной системы уравнений (\mathbf{b}=\mathbf{0}) сводится к поиску ядра отображения g.

Пример[править | править исходный текст]

Пусть f будет линейным отображением f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 и:

f(\vec{x})= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ 0\end{pmatrix}.

Тогда его ядро является векторным подпространством:

\ker f = \left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \mid \lambda \in \mathbb R \right\}.

Гомоморфизм групп[править | править исходный текст]

Если f — гомоморфизм между группами, то \ker f образует нормальную подгруппу A.

Гомоморфизм колец[править | править исходный текст]

Если f — гомоморфизм между кольцами, то \ker f образует идеал кольца A.

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

См. также[править | править исходный текст]