Тангенциальное ускорение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Разложение ускорения \mathbf a(t)\ \ на тангенциальное \mathbf a_\tau\ \ и нормальное\mathbf a_n; (\mathbf \tau — единичный касательный вектор).

Тангенциа́льное ускоре́ние  — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: \mathbf a_\tau\ \ или \mathbf a_t\ \ , \mathbf w_\tau\ \ ,\mathbf u_\tau\ \ и т.д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная —  a_\tau\ \ , обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Формула[править | править вики-текст]

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

a_\tau = \frac{dv}{dt},

где v\ = dl/dt — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение \mathbf e_\tau\ , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

\mathbf a_\tau = \frac{dv}{dt} \mathbf e_\tau.

Вывод[править | править вики-текст]

Вывод 1[править | править вики-текст]

Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде \mathbf v = v\, \mathbf e_\tau через единичный вектор касательной \mathbf e_\tau:

 \mathbf a = \frac{d \mathbf{v}}{dt} 
           = \frac{d (v \, \mathbf e_\tau)}{dt}
           =  \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dt}
           =  \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dl} \frac{dl}{dt}
           = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau+ \frac{v^2}{R}\mathbf e_n\ ,

где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение.

Здесь использовано обозначение e_n\ для единичного вектора нормали к траектории и l\ - для текущей длины траектории (l = l(t)\ ); в последнем переходе также использовано очевидное

dl/dt = v\

и, из геометрических соображений,

\frac{d \mathbf e_\tau}{dl} = \frac {\mathbf e_n}{R}.

Вывод 2[править | править вики-текст]

Если траектория гладкая (что предполагается), то:

  • изменения направления вектора \mathbf v\ дадут в проекции на касательную малую величину не ниже второго порядка по dt\ , которой можно поэтому пренебречь.
  • изменение длины вектора \mathbf v\ будет отличаться от проекции изменения \mathbf v\ на касательную тоже на величину не ниже второго порядка.

То и другое следует из того, что угол вектора \mathbf v\ к касательной будет не ниже первого порядка по dt\ . Отсюда сразу же следует искомая формула.

Говоря менее строго, проекция \mathbf v\ на касательную при малых dt\ будет практически совпадать с длиной вектора \mathbf v\ , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых dt\ всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице [1].

Замечания[править | править вики-текст]

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Для определенности можем выбрать ту касательную, на которой лежит \mathbf v(t)\ , тогда \mathbf v(t+dt)\ будет, очевидно, составлять с ним - а значит и с ней - малый угол из-за малости dt\ ; это тем более будет выполняться для любых промежутков времени, меньших чем dt\ .

См. также[править | править вики-текст]