Тела вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Образование поверхности вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости[1].

Примеры тел вращения[править | править исходный текст]

  • Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
  • Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки: Sбок = 2πrh.

  • Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки: Sбок = πrl Площадь полной поверхности конуса: Sкон = πr(l+ r)

  • Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его [2]


При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём тел вращения[править | править исходный текст]

Вращение вокруг оси x[править | править исходный текст]

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси x фигуры, ограниченной функцией f(x) на интервале [a;b], осью x и прямыми x=a и x=b равен:

V_x = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx
Вращение вокруг оси y[править | править исходный текст]

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси y фигуры, ограниченной функцией f(x) на интервале [a;b], осью y и прямыми y=a и y=b равен:

V_y = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} xf(x) dx

Альтернативные формулы вычисления V_y:

V_y = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f^{-1} (y))^2 dy\qquad и V_y = \pi \int_{x_1}^{x_2} x^2f'(x) dx
Теорема Гульдина[править | править исходный текст]

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа.

  • Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

  • Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.


Литература[править | править исходный текст]

А.В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» §21.Тела вращения. — 2011

Примечания[править | править исходный текст]

  1. А. В. Погорелов. §21. Тела вращения // Геометрия. 10-11 класс. — 2011.
  2. Математика. Энциклопедия для детей том 11й ISBN 5-94623-072-7