Теорема Пифагора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Right triangle blue.png

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

История

Чжоу би суань цзин 500—200 лет до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.

В древнекитайской книге Чжоу би суань цзин (англ.) (кит. 周髀算經) говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5[1]. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.[источник не указан 205 дней]

Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, — например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника[2]. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

Согласно комментарию Прокла к Евклиду, Пифагор (годами жизни которого принято считать 570—490 гг. до н. э.) использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки. Однако Прокл писал между 410 и 485 гг. н. э. Томас Литтл Хит (en:Thomas Little Heath) считал, что не существует явного упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы.[3] Однако, когда авторы, такие как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.[4][5] «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».[6] По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[7].

Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора[8].

Формулировки

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

a^2 + b^2 = c^2

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a^2 + b^2 = c^2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.


Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы[9]. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Podobnye treugolniki proof.png

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

 |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c

получаем

 \frac{a}{c}=\frac{|HB|}{a}; \frac{b}{c}=\frac{|AH|}{b}.

Что эквивалентно

a^2=c\cdot |HB|; b^2=c\cdot |AH|.

Сложив, получаем

a^2+b^2=c\cdot\left(|HB|+|AH|\right)=c^2.

или

a^2+b^2=c^2, что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Рис.1
  1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
  2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
  3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.
(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}
c^2=a^2+b^2;\frac{}{}

Что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида

Чертеж к доказательству Евклида
Иллюстрация к доказательству Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK. Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK, AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Данное доказательство также получило название «Пифагоровы штаны».

Доказательство Леонардо да Винчи

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Доказательство методом бесконечно малых
\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}

Пользуясь методом разделения переменных, находим

c\, dc = a\, da

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

c\ dc = a\, da + b\, db

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

c^2 = a^2 +b^2 + \mathrm{constant}.
a = b = c = 0 \Rightarrow \mathrm{constant} = 0

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

c^2 = a^2 +b^2.

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим

a=0 \Rightarrow c^2 = b^2 = \mathrm{constant}.

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трех сторонах

Обобщение для подобных треугольников, площадь зеленых фигур A + B = площади синей C
Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Обобщение теоремы Пифагора сделал Евклид в своей работе Начала, расширив площади квадратов на сторонах до площадей подобных геометрических фигур[10]:

Если построить подобные геометрические фигуры (см. Евклидова геометрия) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равняться площади большей фигуры.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A, B и C построенных на сторонах с длиной a, b и c, имеем:

\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, ,
\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C\, .

Но, по теореме Пифагора, a2 + b2 = c2, тогда A + B = C.

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника (A и B), построенные на двух других сторонах, которые образуются в результате деления центрального треугольника его высотой. Сумма двух меньших площадей треугольников тогда, очевидно, равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказывания в обратном порядке, получим теорему Пифагора a2 + b2 = c2.

Теорема косинусов

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:[11]

a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,

где θ — угол между сторонами a и b.

Если θ равен 90 градусов, тогда cosθ = 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

Обобщение теоремы Пифагора от Сабита ибн Курра.[12] Нижний рисунок: отражение треугольника ABD (сверху), чтобы образовать треугольник DBA, подобный трейгольнику треугольника ABC (верхний).

В любой выбранный угол произвольного треугольника со сторонами a, b, c впишем равнобедренный треугольник таким образом, чтобы равные углы при его основании θ равнялись выбранному углу. Предположим, что выбранный угол θ расположен напротив стороны, обозначенной c. В результате мы получили треугольник ABD с углом θ, что расположен напротив стороны a и стороны r. Второй треугольник образуется углом θ, что расположен напротив стороны b и стороны с длиной s, как показано на рисунке. Сабит Ибн Курра[13] утверждал, что стороны в этих трех треугольниках связаны следующим образом:[14][15]

 a^2 +b^2 =c(r+s) \ .

Когда угол θ приближается к π/2, основание равнобедренного треугольника уменьшается, и две стороны r и s перекрывают друг друга все меньше и меньше. Когда θ = π/2, ADB превращается в прямоугольный треугольник, r + s = c и получаем начальную теорему Пифагора.

Рассмотрим один из доводов. Треугольник ABC имеет такие же углы, как и треугольник ABD, но в обратном порядке. (Два треугольника имеют общий угол при вершине B, оба имеют угол θ и также имеют одинаковый третий угол, по сумме углов треугольника) Соответственно, ABC — подобен отражению ABD треугольника DBA, как показано на нижнем рисунке. Запишем соотношение между противоположными сторонами и прилегающими к углу θ,

\frac{c}{a} = \frac{a}{r} \ .

Так же отражение другого треугольника,

\frac{c}{b} = \frac{b}{s} \ .

Перемножим дроби и добавим эти два соотношения:

 cr +cs = a^2 +b^2 \ ,

что и требовалось доказать.

Обобщение для произвольных треугольников через параллелограммы

Обобщение для произвольных треугольников,
площадь зеленого участка = площади синего
Доказательство тезиса, что на рисунке выше

Сделаем дальнейшее обобщение для непрямоугольных треугольников, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов.[16] (квадраты — частный случай.) Верхний рисунок демонстрирует, что для остроугольного треугольника площадь параллелограмма на длинной стороне равна сумме параллелограммов на двух других сторонах, при условии что параллелограмм на длинной стороне построен, как изображено на рисунке (размеры, отмеченные стрелками, одинаковые и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет четкое сходство с начальной теоремой Пифагора, считается, что её сформулировал Папп Александрийский в 4 г. н. э.[16]

Нижний рисунок показывает ход доказательства. Посмотрим на левую сторону треугольника. Левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левая часть синего параллелограмма, потому что они имеют такое же основание b и высоту h. Кроме того, левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, потому что они имеют общее основание (верхняя левая сторона треугольника) и общую высоту, перпендикулярную к этой стороне треугольника. Аналогично рассуждая для правой стороны треугольника докажем, что нижний параллелограмм имеет такую же площадь, как у двух зеленых параллелограммов.

Комплексные числа

Теорему Пифагора используют, чтобы найти расстояние между двумя точками в декартовой координатной системе, и эта теорема справедлива для всех истинных координат: расстояние s между двумя точками (a, b) и (c, d) равно

s = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}.\

Не возникает проблем с формулой, если к комплексным числам относиться как к векторам с действительными компонентами x + i y = (x, y).. Например, расстояние s между 0 + 1i и 1 + 0i рассчитываем как модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или

 s = \sqrt{ (-1)^2 +1^2} = \sqrt{2}.\

Тем не менее, для операций с векторами с комплексными координатами необходимо провести определенное усовершенствование формулы Пифагора. Расстояние между точками с комплексными числами (a, b) и (c, d); a, b, c, и d все комплексные, сформулируем используя абсолютные величины. Расстояние s основано на векторной разнице (ac, bd) в следующем виде:[17] пусть разница ac = p + i q, где p — действительная часть разницы, q — мнимая часть, и i = √(−1). Аналогично, пусть bd = r + is. Тогда:


\begin{align}
s &= \sqrt{(p+iq)\overline{(p+iq)} + (r+is)\overline{(r+is)}} \\
  &= \sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \\
  &= \sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2},
\end{align}

где \overline{\mathit z} — это комплексное сопряженное число для \mathit z\ . Например, расстояние между точками (a, b) = (0, 1) и (c, d) = (i, 0), рассчитаем разницей (ac, bd) = (−i, 1) и в результате мы бы получили 0, если бы не были использованы комплексные сопряженные. Следовательно, используя усовершенствованную формулу, получим

s = \sqrt{(-i)\cdot(\overline{-i}) + 1 \cdot\overline{1}}= \sqrt{(-i)\cdot{i} + 1 \cdot{1}} = \sqrt{2}. \,

Модуль определен следующим образом:

\|\mathbf p \| = \sqrt{\mathbf {p \cdot \overline{p}}} = \sqrt{|p_1|^2 + |p_2|^2 + \dots +|p_n|^2} \ ,

что представляет собой Эрмитово скалярное произведение[18]

Стереометрия

Значительным обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства является теорема де Гуа, названная в честь Ж.-П. де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол (как в кубе), тогда квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трех граней. Этот вывод может быть обобщен как «n-мерная теорема Пифагора»:[19]

Теорема Пифагора в трехмерном пространстве связывает диагональ AD с тремя сторонами.

Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора:

 \overline{BD}^{\,2} = \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ ,

где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова используем теорему Пифагора:

 \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BD}^{\,2} \ ,

или, если все записать одним уравнением:

 \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2}  \ .

Этот результат — это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие {vk} (три взаимно перпендикулярные стороны):

\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^3 \|\mathbf{v}_k\|^2.

Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.

Векторное пространство

В случае ортогональной системы векторов \{v_k\}\frac{}{} имеет место равенство, которое тоже называют теоремой Пифагора:

\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2.

Если \{v_k\}\frac{}{} — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида — и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов имеет название равенства Парсеваля.

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и, фактически, не действительна для неевклидовой геометрии, в том виде, в котором записана выше.[20] (То есть теорема Пифагора оказывается своеобразным эквивалентом постулату Евклида о параллельности[21][22]) Другими словами, в неевклидовой геометрии соотношение между сторонами треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем a, b и c), которые ограничивают собой октант (восьмую часть) единичной сферы, имеют длину π/2, что противоречит теореме Пифагора, потому что a2 + b2c2.

Рассмотрим здесь два случая неевклидовой геометрии — сферическая и гиперболическая геометрия; в обоих случаях, как и для евклидова пространства для прямоугольных треугольников, результат, который заменяет теорему Пифагора, следует из теоремы косинусов.

Однако, теорема Пифагора остается справедливой для гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему, скажем A+B = C. Тогда соотношение между сторонами выглядит так: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c.[23]

Сферическая геометрия

Сферический треугольник

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол γ в треугольнике прямой) со сторонами a, b, c соотношение между сторонами будет иметь такой вид:[24]

 \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которое справедливо для всех сферических треугольников:

 \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma \ .

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса cos x ≈ 1 − x2/2 можно показать, что если радиус R приближается к бесконечности, а аргументы a/R, b/R и c/R приближаются к нулю, сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора. Подставим приближенные значения для каждого косинуса:

1-\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left[1-\left(\frac{a}{R}\right)^2 \right]\left[1-\left(\frac{b}{R}\right)^2 \right] + o(a^2+b^2)

Перемножим выражения в скобках, получим теорему Пифагора для больших радиусов R:

\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + o(a^2+b^2),

где «higher order terms» — слагаемые высшего порядка, которыми можно пренебречь при больших значениях R.

Гиперболическая геометрия

Гиперболический треугольник

Для прямоугольного треугольника в гиперболической геометрии со сторонами a, b, c, если сторона c расположена напротив прямого угла, соотношение между сторонами будет такое[25]

 \mathrm{ch} c=\mathrm{ch} a\,\mathrm{ch} b

где ch — гиперболический косинус[26]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:[27]

\mathrm{ch}c= \mathrm{ch} a \ \mathrm{ch} b - \mathrm{sh} a \ \mathrm{sh} \ \cos \gamma \ ,

где \gamma — это угол, вершина которого противоположна стороне c.

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса \mathrm{ch}x \approx 1 + x^2 / 2, можно доказать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a, b, и c приближаются к нулю), то гиперболические соотношение в прямоугольном треугольнике приближаются к теореме Пифагора.

Дифференциальная геометрия

Расстояние между точками, удаленными друг от друга на бесконечно малую величину в декартовых (вверху) полярных координатах (внизу), согласно теореме Пифагора

В трехмерном пространстве для двух точек, удаленных друг от друга на бесконечно малое расстояние, запишем теорему Пифагора:

ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2,\,

где ds — это расстояние между точками, а (dx, dy, dz) — компоненты вектора, соединяющие эти две точки. Такое пространство называется евклидовым. Однако, обобщение этого выражения пригодно для общих координат (не только декартовых) и общих пространств (не только евклидовых) и имеет вид:[28]

ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j

где gij называется метрическим тензором. Он может быть функцией позиции. Такие криволинейные пространства включают Риманову геометрию как общий пример. Это формулировка также подходит для Евклидова пространства при применении криволинейных координат. Например, для полярных координат:

ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \ .

Векторное произведение

Площадь параллелограмма как векторное произведение; векторы a і b задают плоскость, а вектор a × b перпендикулярен к этой плоскости.

Теорема Пифагора связывает два выражения величины векторного произведения. Один из подходов к определению векторного произведения требует, чтобы он удовлетворял уравнению:[29]

 \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \,

в этой формуле используется скалярное произведение. Правая сторона уравнения называется детерминант Грамма для a и b, что равно площади параллелограмма, образованного этими двумя векторами. Исходя из этого требования, а также требования о перпендикулярности векторного произведения к его составляющим a и b следует, что, за исключением тривиальных случаев из 0- и 1-мерного пространства, векторное произведение определено только в трех и семи измерениях.[30] Используем определение угла в n-мерном пространстве:[31]

 (\mathbf{a \cdot b}) = ab \ \cos \theta \ ,

это свойство векторного произведения дает его величину в таком виде:

 \|\mathbf{ a \times b} \|^2 =a^2 b^2 \left(1 - \cos^2 \theta \right). \,

Через фундаментальное тригонометрическое тождество Пифагора[32] получаем другую форму записи его величины:

  \|\mathbf{ a \times b}\|=  ab \sin \theta. \,

Альтернативный подход к определению векторного произведения использует выражение для его величины. Тогда, рассуждая в обратном порядке, получаем связь со скалярным произведением:

 \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \

Теория чисел

Пифагоровой тройкой называется набор из трёх натуральных чисел (x,\;y,\;z), удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению:

x^2 + y^2 = z^2.

Формулировка «Великой теоремы Ферма» аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Упоминание в художественной литературе

Теорема Пифагора упоминается в повести Евгения Велтистова «Электроник — мальчик из чемодана», где Электроник в роли Сыроежкина на уроке математики в школе утверждает, что может доказать теорему Пифагора двадцатью пятью способами и приводит некоторые из них, чем поражает класс и учителя математики Таратара.

См. также

Примечания

  1. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / М. Л. Титаренко. — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939-941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299.
  2. History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics
  3. (Euclid 1956, С. 351) С. 351
  4. (Heath 1921, Vol I, p. 144)
  5. Обсуждение исторических фактов приведено в (Euclid 1956, С. 351) С. 351
  6. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum». The Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
  7. Льюис Кэррол, «История с узелками», М., Мир, 1985, с. 7
  8. Asger Aaboe Episodes from the early history of mathematics. — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131.
  9. Pythagorean Proposition, by Elisha Scott Loomis
  10. Euclid’s Elements: Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»
  11. Lawrence S. Leff cited work. — Barron's Educational Series. — P. 326. — ISBN 0764128922.
  12. Howard Whitley Eves §4.8:...generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108.
  13. Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826—901 AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid’s Elements and other mathematical subjects.
  14. Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
  15. Judith D. Sally, Paul Sally Exercise 2.10 (ii) // Cited work. — P. 62. — ISBN 0821844032.
  16. 1 2 For the details of such a construction, see George Jennings Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures. — 3rd. — Springer, 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X.
  17. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C: Norm for an arbitrary n-tuple ... // An introduction to analysis. — Springer, 1995. — P. 124. — ISBN 0387943692. See also pages 47-50.
  18. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487.
  19. Rajendra Bhatia Matrix analysis. — Springer, 1997. — P. 21. — ISBN 0387948465.
  20. Stephen W. Hawking cited work. — 2005. — P. 4. — ISBN 0762419229.
  21. Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — P. 2147. — ISBN 1584883472.
  22. Alexander R. Pruss The principle of sufficient reason: a reassessment. — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X.
  23. Victor Pambuccian (December 2010). «Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem». The Mathematical Intelligencer 32. DOI:10.1007/s00283-010-9169-0.
  24. Barrett O'Neill Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — P. 441. — ISBN 0120887355.
  25. Saul Stahl Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry. — Jones & Bartlett Learning, 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X.
  26. Микиша А. М., Орлов В. Б. «Толковый математический словарь. Основные термины.», М. «Русский язык», 1989 г.
  27. Jane Gilman Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL(2,R). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611.
  28. Tai L. Chow Mathematical methods for physicists: a concise introduction. — Cambridge University Press, 2000. — P. 52. — ISBN 0521655447.
  29. WS Massey (Dec. 1983). «Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces». The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 90 (10): 697–701. DOI:10.2307/2323537.
  30. Although a cross-product involving n − 1 vectors can be found in n dimensions, a cross-product involving only two vectors can be found only in 3 dimensions and in 7 dimensions. See Pertti Lounesto §7.4 Cross product of two vectors // Clifford algebras and spinors. — 2nd. — Cambridge University Press, 2001. — P. 96. — ISBN 0521005515.
  31. Francis Begnaud Hildebrand Methods of applied mathematics. — Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd. — Courier Dover Publications, 1992. — P. 24. — ISBN 0486670023.
  32. Lawrence S. Leff PreCalculus the Easy Way. — 7th. — Barron's Educational Series, 2005. — P. 296. — ISBN 0764128922.

Литература

На русском языке

На английском