Тригонометрические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1
Графики тригонометрических функций:      синуса      косинуса      тангенса      котангенса      секанса      косеканса

Тригонометри́ческие фу́нкцииэлементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции
  • синус (\sin x)
  • косинус (\cos x)
производные тригонометрические функции
  • тангенс (\mathrm{tg}\, x)
  • котангенс (\mathrm{ctg}\, x)
другие тригонометрические функции
  • секанс (\sec x)
  • косеканс (\mathrm{cosec}\, x)

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс часто обозначаются \tan x, \cot x, \csc x.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2 \pi (360^\circ) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и \pi (180^\circ) для тангенса и котангенса.
Синус и косинус вещественного аргумента — периодические непрерывные и неограниченно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках \pm \pi n + \frac{\pi}{2}, а котангенс и косеканс — в точках \pm \pi n.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Значения тригонометрических функций острых углов приводят в специальных таблицах. Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Содержание

Способы определения[править | править вики-текст]

Геометрическое определение[править | править вики-текст]

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки B обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок).

  • Синусом называется отношение \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
  • Косинусом называется отношение \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
  • Тангенс определяется как \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
  • Котангенс определяется как \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
  • Секанс определяется как \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
  • Косеканс определяется как \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.
Рис. 3
Численные значения тригонометрических функций угла \alpha в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если \alpha — вещественное число, то синусом \alpha в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна \alpha, аналогично для прочих тригонометрических функций.


Определение тригонометрических функций для острых углов[править | править вики-текст]

Рис. 4
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

  • Синусом угла \alpha называется отношение \frac{AB}{OB} (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
  • Косинусом угла \alpha называется отношение \frac{OA}{OB} (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
  • Тангенсом угла \alpha называется отношение \frac{AB}{OA} (отношение противолежащего катета к прилежащему).
  • Котангенсом угла \alpha называется отношение \frac{OA}{AB} (отношение прилежащего катета к противолежащему).
  • Секансом угла \alpha называется отношение \frac{OB}{OA} (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
  • Косекансом угла \alpha называется отношение \frac{OB}{AB} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений[править | править вики-текст]

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

с начальными условиями \cos\left(0\right) = \sin '\left(0\right) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,
\ \left(\sin  x\right)'' = - \sin x.

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений[править | править вики-текст]

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)
\end{array}
\right.

Определение тригонометрических функций через ряды[править | править вики-текст]

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Пользуясь этими формулами, а также равенствами \operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, \operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec x=\frac{1}{\cos x} и \operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}
{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}
{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}
\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

где

B_n — числа Бернулли,
E_n — числа Эйлера (англ. Euler numbers).

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править | править вики-текст]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

 \alpha \,\! 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
 \sin \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{1}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! {1}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\!
 \cos \alpha \,\! {1} \,\!   \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{1}{2}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\! {1}\,\!
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{1}{\sqrt{3}}\,\!  {1}\,\!   \sqrt{3}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\!
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\! {\infty}\,\!   \sqrt{3}\,\! {1} \,\!  \frac{1}{\sqrt{3}}\,\!  {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\!
 \sec \alpha \,\! {1} \,\!  \frac{2}{\sqrt{3}}\,\!   \sqrt{2}\,\!  {2}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!  {1}\,\!
 \operatorname{cosec}\, \alpha \,\! {\infty}\,\!  {2}\,\!   \sqrt{2}\,\!  \frac{2}{\sqrt{3}}\,\! {1}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!
Значения косинуса и синуса на окружности.


Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править | править вики-текст]

\alpha\, \frac{2\pi}{3} = 120^\circ \frac{3\pi}{4} = 135^\circ \frac{5\pi}{6} = 150^\circ \frac{7\pi}{6} = 210^\circ \frac{5\pi}{4} = 225^\circ \frac{4\pi}{3} = 240^\circ \frac{5\pi}{3} = 300^\circ \frac{7\pi}{4} = 315^\circ \frac{11\pi}{6} = 330^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2}
\cos \alpha\, -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}
\operatorname{tg}\,\alpha -\sqrt{3} {-1}\,\! -\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{\sqrt{3}}{3} {1}\,\! \sqrt{3} -\sqrt{3} {-1}\,\! -\frac{\sqrt{3}}{3}
\operatorname{ctg}\,\alpha -\frac{\sqrt{3}}{3} {-1}\,\! -\sqrt{3} \sqrt{3} {1}\,\! \frac{\sqrt{3}}{3} -\frac{\sqrt{3}}{3} {-1}\,\! -\sqrt{3}


\alpha\, \frac{\pi}{12} = 15^\circ \frac{\pi}{10} = 18^\circ \frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ \frac{\pi}{5} = 36^\circ \frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ \frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ \frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ \frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}
\cos \alpha\, \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}
\operatorname{tg}\,\alpha 2-\sqrt{3} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}-1 \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}+1 \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} 2 + \sqrt{3}
\operatorname{ctg}\,\alpha 2 + \sqrt{3} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}+1 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}-1 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} 2-\sqrt{3}

Свойства тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Простейшие тождества[править | править вики-текст]

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},\,
 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha},\,
 \mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha  \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Непрерывность[править | править вики-текст]

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва \pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots; котангенс и косеканс — 0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.

Чётность[править | править вики-текст]

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

 \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,,
 \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
 \sec \left( - \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Периодичность[править | править вики-текст]

Функции  y = \mathop{\mathrm{sin}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cos}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{sec}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cosec}}\, x  — периодические с периодом 2\pi, функции  y = \mathop{\mathrm{tg}} \,x и  y = \mathop{\mathrm{ctg}} \,x — c периодом \pi.

Формулы приведения[править | править вики-текст]

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

 f ( n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,
 f ( n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,
 f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha),\,
 f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha).\,

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

 \cos \left(  \frac{ \pi}{2} - \alpha \right)  =   \sin \alpha\,,

Некоторые формулы приведения:

\alpha\, \frac{\pi}{2} + \alpha \pi + \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} + \alpha \frac{\pi}{2} - \alpha \pi - \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} - \alpha 2\,\pi - \alpha
\sin\alpha\, \cos\alpha\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \cos\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\,
\cos\alpha\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \sin\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\, \cos\alpha\,
\operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha
\operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha

Формулы сложения[править | править вики-текст]

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

 \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,
 \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,
 \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},
 \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,
\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Формулы для кратных углов[править | править вики-текст]

Формулы двойного угла:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.

Формулы тройного угла:

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.

Прочие формулы для кратных углов:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
 \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

где [n] — целая часть числа n, \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.

Произведения[править | править вики-текст]

Формулы для произведений функций двух углов:

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},
\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},
\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},
\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени[править | править вики-текст]

\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2}, \operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha},
\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2}, \operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha},
\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4}, \operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},
\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4}, \operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},
\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8}, \operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},
\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8}, \operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.

Суммы[править | править вики-текст]

 \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}
 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
 \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
 \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
 \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}
 1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .

Для функций от аргумента x существует представление:

A \sin \ x + B \cos \ x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),

где угол \phi находится из соотношений:

\sin \phi =  \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi =  \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Однопараметрическое представление[править | править вики-текст]

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

Производные и интегралы[править | править вики-текст]

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

( \sin x )' = \cos x \,,

( \cos x )' = -\sin x \,,

( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},

( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},

( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},

( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,

\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,

\int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,

\int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,

\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,

\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.

Тригонометрические функции комплексного аргумента[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Формула Эйлера:

 e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta \,

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh}  i z }{i};
\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z;
\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})};
\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}};
\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}};
\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\, где i^2=-1.\,


Соответственно, для вещественного x,

\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}), \,
\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}). \,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,\,
\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y.\,

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

  • комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
  • все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики[править | править вики-текст]

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости
Complex sin.jpg
Complex cos.jpg
Complex tan.jpg
Complex Cot.jpg
Complex Sec.jpg
Complex Csc.jpg

\sin\, z\,

\cos\, z\,

\operatorname{tg}\, z\,

\operatorname{ctg}\, z\,

\sec\, z\,

\operatorname{cosec}\, z\,

История названий[править | править вики-текст]

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как: араб. جيب‎‎ — «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом лат. sinus — «синус», имеющим то же значение. Термин «косинус» лат. cosinus это сокращение от лат. complementi sinus — синус дополнения.

Современные краткие обозначения \sin и \cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс) с помощью добавления приставки «арк» лат. arc сокращение от лат. arcus — дуга.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
  • Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.

Ссылки[править | править вики-текст]