Цилиндр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Прямой круговой цилиндр

Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями - это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Другие виды цилиндра — (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.

Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.

Сечения (сечение плоскостью)
Результат пересечения цилиндров

Площадь поверхности цилиндра[править | править вики-текст]

Площадь боковой поверхности[править | править вики-текст]

К вычислению площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

S_b = P h

В частности, для прямого кругового цилиндра:

P = 2 \pi R, и S_b = 2 \pi R h

Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:

S_b = P_{\perp} h

Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма, к сожалению, не существует.

Площадь полной поверхности[править | править вики-текст]

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра: S_{p} = 2 \pi R h +2 \pi R^2 = 2\pi R (h+R)

Объём цилиндра[править | править вики-текст]

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:

  • Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
    V=S_{\perp}l,
  • Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):
    V=Sh=Sl\sin{\varphi},
где l — длина образующей, а \varphi — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h=l.

Для прямого цилиндра \sin{\varphi}=1, l=h и S_{\perp}=S, и объём равен:

  • V=Sl=Sh

Для кругового цилиндра:

V=\pi R^{2}h=\pi \frac{d^{2}}{4}h

где d — диаметр основания.


Примечания[править | править вики-текст]