*-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

*-кольцо[править | править исходный текст]

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

\ (x + y)^* = x^* + y^*
\ (x y)^* = y^* x^*
\ 1^* = 1
\ (x^*)^* = x.

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра[править | править исходный текст]

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в R \subset A.

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad  \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A.

*-гомоморфизм \ f: A \to B — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.

  • Элементы для которых \ x^*= x называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
  • Элементы для которых \ x^*=-x называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
  • Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде \phi(x,y) = x^* \cdot y.

C*-алгебра[править | править исходный текст]

C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство:

 \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|,
 \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|.

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

 \|x x^* \| = \|x\|^2.

Примеры[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

Обозначения[править | править исходный текст]

Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею.

xx*, или
xx (ΤΕΧ: x^*),

но не «x» т.к. символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта x, как в комплексном сопряжении, или x (поднятый типографский крестик).

См. также[править | править исходный текст]

Библиография[править | править исходный текст]

  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, стр. 142—150.