*-алгебра

*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

*-кольцо

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

• антиавтоморфизмом, то есть

$\ (x + y)^* = x^* + y^*$

$\ (x y)^* = y^* x^*$

$\ 1^* = 1$

• и инволюцией, то есть

$\ (x^*)^* = x.$

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в $R \subset A.$

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

$(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A$.

*-гомоморфизм $\ f: A \to B$ — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

$f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.$

---

• Элементы для которых $\ x^*= x$ называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
• Элементы для которых $\ x^*=-x$ называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
• Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде $\phi(x,y) = x^* \cdot y$.

C*-алгебра

C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для которой выполняется C*-свойство:

$\|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|,$

$\|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|.$

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

$\|x x^* \| = \|x\|^2.$

Примеры

• Самым известным примером являются комплексные числа $\C$ с операцией сопряжения.
• С помощью процедуры Кейли-Диксона образуются алгебры с операцией сопряжения: комплексные числа, кватернионы, октавы.
• Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения.
• Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве.

Свойства

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

• Если для 2 в алгебре существует обратный элемент, тогда $\frac12(1-*)$ и $\frac12(1+*)$ является ортогональными идемпотентами. Если их выбрать в базис, то алгебра как векторное пространство разлагается в прямую сумму подпространств с симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
• Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана.
• Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли.

См. также

• Операторные алгебры

Библиография

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, стр. 142—150.