ARIMA

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов, иногда называемые моделями (или методологией) Бокса-Дженкинса. Являются расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель $ARIMA(p,d,q)$ означает, что разности временного ряда порядка $d$ подчиняются модели ARMA(p, q).

Формальное определение модели

Модель ARIMA(p,d,q) имеет вид:

$\triangle^d X_t=c+\sum_{i=1}^p a_i\triangle^d X_{t-i}+\sum_{j=1}^q b_j\varepsilon_{t-j}+\varepsilon_t$

Также данная модель интерпретируется как ARMA(p+d, q)- модель с d единичными корнями. При $d=0$ имеем обычные $ARMA$-модели.

Операторное представление

С помощью лагового оператора $L:~Lx_t=x_{t-1}$ данные модели можно записать следующим образом:

$(1-L)^d X_t=c+(\sum_{i=1}^p a_iL^i)(1-L)^d X_t+(1+\sum_{j=1}^q b_j L^j)\varepsilon_t$

или сокращенно

$a(L)(1-L)^d X_t=c+ b(L)\varepsilon_t$

Пример

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания

$x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t \Rightarrow \triangle x_t=(1-L)x_t=\varepsilon_t$

Следовательно это модель ARIMA(0,1,0)

Интегрированные временные ряды

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной $X_t$ ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут $X_t \sim I(k)$), если разности ряда порядка k, то есть $\triangle^k x_t$ является стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности I(0)-это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок d модели ARIMA(p, d,q).

Методология ARIMA (Бокса-Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка d)

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности d временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированых моделях авторегрессии-скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия d-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных d (разложение в ряд Тейлора):

$\triangle^d =(1-L)^d=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac {\prod_{j=0}^{k-1}(d-j)} {k!} L^k$

Литература

• Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6
• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0
• Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3