ARIMA

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель ARIMA(p,d,q) означает, что разности временного ряда порядка d подчиняются модели ARMA(p, q).

Формальное определение модели[править | править исходный текст]

Модель ARIMA(p, d, q) имеет вид:

\triangle^d X_t=c+\sum_{i=1}^p a_i\triangle^d X_{t-i}+\sum_{j=1}^q b_j\varepsilon_{t-j}+\varepsilon_t

Также данная модель интерпретируется как ARMA(p+d, q)- модель с d единичными корнями. При d=0 имеем обычные ARMA-модели.

Операторное представление[править | править исходный текст]

С помощью лагового оператора L:~Lx_t=x_{t-1} данные модели можно записать следующим образом:

(1-L)^d X_t=c+(\sum_{i=1}^p a_iL^i)(1-L)^d X_t+(1+\sum_{j=1}^q b_j L^j)\varepsilon_t,

или сокращённо:

a(L)(1-L)^d X_t=c+ b(L)\varepsilon_t.

Пример[править | править исходный текст]

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t \Rightarrow \triangle x_t=(1-L)x_t=\varepsilon_t

Следовательно это модель ARIMA(0,1,0).

Интегрированные временные ряды[править | править исходный текст]

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной X_t ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут X_t \sim I(k)), если разности ряда порядка k, то есть \triangle^k x_t являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности I(0) — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок d модели ARIMA(p, d, q).

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)[править | править исходный текст]

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка d).

Модели ARFIMA[править | править исходный текст]

Теоретически порядок интегрированности d временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированых моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия d-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных d (разложение в ряд Тейлора):

\triangle^d =(1-L)^d=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac {\prod_{j=0}^{k-1}(d-j)} {k!} L^k.

Литература[править | править исходный текст]

  • Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6
  • Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0
  • Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3