B-сплайн

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В вычислительной математике B-сплайном называют сплайн-функцию, имеющую наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и разбиения области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения.[1] Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн».[2] B-сплайны могут быть вычислены с помощью алгоритма де Бора, обладающего устойчивостью.

В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.

Определение[править | править вики-текст]

Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является однородным, в противном случае его называют неоднородным

Замечания[править | править вики-текст]

Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье. Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.

Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.

Базисный сплайн степени n

b_{i,n}(t)\,\;

не обращается в нуль только на промежутке [ti, ti+n+1], то есть

b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} 
>0 & \mathrm{if} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{matrix}
\right.

Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье.

Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  1. Carl de Boor A Practical Guide to Splines. — Springer-Verlag, 1978. — P. 113-114.
  2. Carl de Boor A Practical Guide to Splines. — Springer-Verlag, 1978. — P. 114-115.

Литература[править | править вики-текст]