E8 (математика)

Группа (математика)

Теория групп Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также «Физический портал»

Граф полиэдра $\scriptstyle{E_8}$

В математике, $E_8$ — наибольшая особая простая группа Ли. $E_8$ была открыта Вильгельмом Киллингом в 1888—1890 годах, а современное её обозначение пришло из классификации простых алгебр Ли, которую ввели Эли Картан и Вильгельм Киллинг. Классификация выделяет четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли, обозначаемых $A_n$, $B_n$, $C_n$, $D_n$, и пять особых случаев, обозначаемых E₆, E₇, E₈, F₄ и G₂.

Описание

$E_8$ имеет ранг 8 и размерность 248 (как многообразие). Векторы системы корней определены в восьми измерениях.

Схема Дынкина

Схема Дынкина для E₈ имеет вид

Эта схема вкратце описывает строение системы корней. Каждый узел схемы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что они находятся под углом 120° друг к другу. Два простых корня, не соединённые линией, ортогональны.

Матрица Картана

Матрица Картана системы корней порядка r — это матрица $r\times r$, элементы которой определяются простыми корнями следующим образом:

$A_{ij} = 2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}$

где $(\cdot, \cdot)$ — евклидово скалярное произведение, а $\alpha_i$ — простые корни. Элементы матрицы не зависят от выбора простых корней (с точностью до порядка).

Матрица Картана для E₈ имеет вид

$\left [ \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right ]$

Определитель этой матрицы равен 1.

См. также

• Система корней
• Исключительно простая теория всего

Ссылки

• «Ну очень большой результат», Компьютерра, Галактион Андреев, 11 апреля 2007 года
• «В 248-мерное пространство прорвались теоретики», Cnews, 20 марта 2007 года