e (число)

Не следует путать с Числами Эйлера I рода.

Не следует путать с постоянной Эйлера.

Иррациональные числа ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ
Система счисления	Оценка числа $e$
Двоичная
Десятичная	2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадцатеричная
Рациональное приближение	193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	[2; ;1, 2, 1, ;1, 4, 1, ;1, 6, 1, ;1, 8, 1, ;1, 10, 1,...]
Евклидова геометрия

Площадь области под графиком y = 1/x на интервале 1 ≤ x ≤ e равна 1 .

e — это некоторое число a, такое, что значение производной (тангенс наклона касательной) показательной функции f (x) = a^x (синяя кривая) в точке x = 0 равняется 1 (красная линия). Для сравнения показаны функция 2^x (пунктирная кривая) и 4^x (штриховая кривая); тангенс наклона касательных для которых отличен от 1

e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значение:

$\ e = 2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;\ldots$ (последовательность A001113 в OEIS)

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

• Через предел:

  $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ (второй замечательный предел).

• Как сумма ряда:

  $e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ или ${\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}$.

• Как единственное число a, для которого выполняется

  $\int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1.$

• Как единственное положительное число a, для которого верно

  $\frac d {dt} a^t = a^t.$

Свойства

• $\frac{de^x }{dx} = e^x.$
  Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения $\frac{df(x)}{dx} = f(x)$ является функция $\!f(x) = c e^x$, где c — произвольная константа.
• Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
• Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
• $\!e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$, см. формула Эйлера, в частности
  • $e^{i\pi} + 1 = 0. \,\!$
• Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

  $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

• Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

  $e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.$

• Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

  $e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,$, то есть

  $e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}$

• $e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$
• Представление Каталана:

  $e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots$

• Мера иррациональности (англ.) числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен $10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!$.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что процентный доход в случае сложного процента имеет предел: $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$ и этот предел равен 2,71828…

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.

Приближения

• Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.
• Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой»
• Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он».
• Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.
• Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — равнобедренный прямоугольный треугольник.
• С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6−4, 6−2, 6−1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): ${666 \over 245} \approx 2,718$.
• Запоминание e как $\frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}$ (с точностью менее 0.001).
• Грубое (с точностью до 0,001) приближение полагает e равным $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$. Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением $5 \cdot \pi - 13$.
• «Правило Боинга»: $e \approx 4 \cdot \sin 0,747$ даёт точность 0,0005.
• С точностью до $10^{-7}$: $\,\,\,\,e \, \approx \, 3 - \sqrt { \frac {5}{63}} \,\,\, ,$ с точностью $10^{-9} \to e \approx 2,7 + \frac {1828}{99990} ,$ а с точностью $4,6 \, \cdot \, 10^{-10} \,\, \to \,\,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}}$
• Число 19/7 превосходит число е менее чем на 0,004;

  Число  87/32   превосходит число е менее чем на 0,0005;
 Число  193/71   превосходит число е менее чем на 0,00003;
 Число 1264/465  превосходит число е менее чем на 0,000003;
Число  2721/1001 превосходит число е менее чем на 0,0000002;
Число 23225/8544 превосходит число е менее чем на 0,00000001.

Доказательство иррациональности

Предположим, что $\!e$ рационально. Тогда $\!e=p/q$, где $\!p$ — целое, а $\!q$ — натуральное. Следовательно

$\!p=eq$

Умножая обе части уравнения на $\!(q-1)!$, получаем

$p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}$

Переносим $\sum_{n=0}^q{q!\over n!}$ в левую часть:

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}$

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1. С другой стороны,

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m}$

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < {1\over q}$

Поскольку $q\ge 1$,

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < 1$

Получаем противоречие.

Открытые проблемы

• Неизвестно, является ли число $e$ элементом кольца периодов.
• Неизвестно, являются ли числа $\pi$ и $e$ алгебраически независимыми.
• Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: $\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, e^{\pi^2}, e^e, 2^e.$ Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.
• Неизвестно, является ли первое число Скьюза $e^{e^{e^{79}}}$ целым числом.

Интересные факты

• В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
• В языках программирования символу $e$ в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

• История числа e (англ.)
• e for 2.71828… (англ.) (история и правило Джексона)
• Горобец, Борис Соломонович. Мировые константы в основных законах физики и физиологии // Наука и жизнь. — 2004. — № 2. (статья с примерами физического смысла констант $\pi$ и $e$)