e (число)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(Перенаправлено с E (математическая константа))
Перейти к: навигация, поиск
Список чисел – Иррациональные числа
ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Область под графиком y = 1/x равна 1 интервалу 1 ≤ x ≤ e.
e - это некоторое число a, такое, что значение производной (наклон линии тангенса) показательной функции f (x) = ax (синяя кривая) в точке x = 0 равно 1. Для сравнения показаны функция 2x (точечная кривая) и 4x (пунктирная кривая); тангенс к линии наклона не равен 1 (красная).

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».


Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

e \approx 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…[1]

Содержание

[править] Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

  • Через предел:
    e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n (второй замечательный предел).
  • Как сумма ряда:
    e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} или {\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}.
  • Как единственное число a, для которого выполняется
    \int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1.
  • Как единственное положительное число a, для которого верно
    \frac d {dt} a^t = a^t.

[править] Свойства

  • \frac{de^x }{dx} = e^x.
    Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения \frac{df(x)}{dx} = f(x) является функция \!f(x) = c e^x, где c — произвольная константа.
  • Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
  • \!e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x), см. формула Эйлера, в частности
    • e^{i\pi} + 1 = 0. \,\!
  • Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
    \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
  • Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
    e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.
  • Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
    e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,, то есть
    e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}
  • e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.
  • Представление Каталана:
    e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots

[править] История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен 10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler)[источник не указан 47 дней].

[править] Мнемоника

  • Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака)
  • Запомнить как 2, 71, и повторяющиеся 82, 81, 82
  • Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
  • Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
  • Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.
  • С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): {666 \over 245} \approx 2,718.
  • Запоминание e как \frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}.
  • Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным \pi \cdot \cos {\pi \over 6}. Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением 5 \cdot \pi - 13.
  • «Правило Боинга»: e \approx 4 \cdot \sin 0,747 даёт неплохую точность 0,0005.
  • Стишки:
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.

[править] Доказательство иррациональности

Пускай \!e рационально. Тогда \!e=p/q, где \!p и \!q целые положительные, откуда

\!p=eq

Умножая обе части уравнения на \!(q-1)!, получаем

p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}

Переносим \sum_{n=0}^q{q!\over n!} в левую часть:

\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} - целое
\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \ge 1

Но с другой стороны

\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m} = {1\over q} \le 1

Получаем противоречие.

[править] Интересные факты

  • В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
  • В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN[2]:

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e, которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число 7{,}38\times 10^{-43}, а не 7{,}38\times e^{-43}.

[править] Примечания

  1. ↑ 2 миллиона цифр после запятой
  2. ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3

[править] См. также

[править] Ссылки

п·о·р
Числа с собственными именами
Имя собственное
Вещественные Золотое сечение | e (число Эйлера) | Пи | Число Скьюза
Натуральные Чёртова дюжина | Число зверя | Число Рамануджана — Харди
Степени десяти Мириада | Гугол | Асанкхейя | Гуголплекс
Степени тысячи Тысяча | Миллион | Миллиард | Биллион | Триллион … | … Центиллион | Зиллион
Степени двенадцати Дюжина | Гросс | Масса
Литературные меры счёта Доцанд | Мириад
Число

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/E_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)»