F4 (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

В математике, F4 — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли \mathfrak{f}_4. F4 имеет 4 ранг и размерность 52. Группа F4 односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F4, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

Компактная вещественная форма (комплексной) группы F4 является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как 'октонионная проективная плоскость', OP2. Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как магический квадрат, разработанную Г. Фрейденталем и Ж. Титсом.

Есть 3 вещественные группы Ли с алгеброй \mathfrak{f}_4: компактная, разделённая и третья.

Алгебра Ли F4 может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли so(9) 16 генераторов, преобразующихся как спиноры, аналогично тому, как это делается в конструировании E8.


Алгебра[править | править исходный текст]

Корневые векторы F4[править | править исходный текст]

(\pm 1,\pm 1,0,0),
(\pm 1,0,\pm 1,0),
(\pm 1,0,0,\pm 1),
(0,\pm 1,\pm 1,0),
(0,\pm 1,0,\pm 1),
(0,0,\pm 1,\pm 1),
(\pm 1,0,0,0),
(0,\pm 1,0,0),
(0,0,\pm 1,0),
(0,0,0,\pm 1),
\left(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\right),

и простые положительные корневые векторы

(0,1,-1,0),
(0,0,1,-1),
(0,0,0,1),
\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).

Группа Вейля/Коксетера[править | править исходный текст]

Для данной группы это — группа симметрии гипероктаэдра.

Матрица Картана[править | править исходный текст]


\begin{pmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{pmatrix}

Решётка симметрии F4[править | править исходный текст]

4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F4 как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.

Источники[править | править исходный текст]