H∞-управление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

H на бесконечности или \mathcal{H}_\infty — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и робастному управлению.

\mathcal{H} является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. \mathcal{H}_\infty-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

H-infty plant representation.png

Объект управления \ P имеет два входа, два внешних воздействия \ w, которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена \ u. Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки \ z, который надо минимизировать и измеренная переменная \ v, которая используется в контуре управления. \ v используется в K для подсчёта переменной \ u.

Уравнение системы:

\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = P(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}
u = K(s) \, v

Таким образом возможно выразить зависимость \ z от \ w:

z=F_l(P,K)\,w

И далее:

F_l(P,K) = P_{11} + P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}

Таким образом, целью \mathcal{H}_\infty-оптимального управления является синтез такого контроллера \ K , \ F_l(P,K), который минимизировал бы \mathcal{H}_\infty-норму системы. То же относится и к \mathcal{H}_2-управлению. Норма на бесконечности матрицы\ F_l(P,K) определяется как:

||F_l(P,K)||_\infty = \sup_\omega \bar{\sigma}(F_l(P,K)(j\omega))

где \bar{\sigma} — максимальное сингулярное число матрицы \ F_l(P,K)(j\omega).

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в \mathcal{H}_\infty-смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (англ. small gain problem)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1.

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей \mathcal{H}_\infty-управления».

Преимущества и недостатки[править | править вики-текст]

H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:

  • Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
  • Простой одношаговый алгоритм.
  • Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

Свойства \mathcal{H}_\infty-контроллеров[править | править вики-текст]

1. Весовая функция \mathcal{H}_\infty-оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы \bar{ \sigma\ } выполняется соотношение:

\bar{ \sigma\ }(F_l(P,K)) = 1 для любого  \omega\ \in R

2. \mathcal{H}_\infty-оптимальный контроллер имеет порядок максимум \ n-1 , где \ n  — порядок объекта управления.

Условия существования \mathcal{H}_\infty-контроллеров[править | править вики-текст]

Для того, чтобы существовал \mathcal{H}_\infty-контроллер в стандартной задаче:

min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

Должен существовать закон пропорционального управления  \ F(s) = K такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы  \ D замкнутой системы удовлетворяло неравенству \sigma_n\ (D) < 1

2. Уравнение Риккати для управления

Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение  P \ge 0 \! .

3. Уравнение Риккати для наблюдателя

Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение  S \ge 0 \! .

4. Ограничение по собственным числам:

Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы: \lambda_{max}(PS) < 1 \!

См. также[править | править вики-текст]

Библиография[править | править вики-текст]

  • Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
  • R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.