H-теорема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В термодинамике и кинетической теории, H-теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает возрастание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.

На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В свое время этот результат вызвал бурные споры.

H-теорема[править | править вики-текст]

Величина H определяется как интеграл по пространству скоростей:

H\,\overset{\mathrm{def}}{=}\int P(\ln P)\,d^3v=\langle\ln P\rangle,

где P(v) — вероятность.

Используя уравнение Больцмана, можно показать, что H не может возрастать.

Для системы из N статистически независимых частиц, H соотносится с термодинамической энтропией S посредством:

S\,\overset{\mathrm{def}}{=}-NkH,

таким образом, согласно H-теореме, S не может убывать.

Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.

Формулировка[править | править вики-текст]

\frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial H_{i}}{\partial x_{i}} \leqslant 0, где H=\int f \ln f \frac{dp}{m}, H_{i}=\int \frac{p_{i}}{m} f \ln f \frac{dp}{m}, f - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана[1]


\frac{\partial f}{\partial t}
+ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m}
+ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F}
= Q(f, f).

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство следует из неравенства Больцмана \int \ln f Q(f,f)\frac{dp}{m} \leqslant 0, где f - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, Q(f,f) - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на 1+\ln f и интегрируем по всем возможным скоростям \frac{p}{m}. При этом используется, что d(f \ln f)=(1+\ln f)df, неравенство Больцмана \int \ln f Q(f,f)\frac{dp}{m} \leqslant 0, 1 - инвариант столкновений, обращение f в нуль при стремлении скорости к бесконечности[1].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.