K-функция

K-функция, обычно обозначаемая K(z), является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.

Формально, K-функция определяется, как

$K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].$

Также определяется в замкнутой форме:

$K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]$

где ζ'(z) обозначает производную дзета-функции Римана, ζ(a,z) — это дзета-функция Гурвица и

$\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.$

K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса; для целых чисел n, можно написать:

$K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.$

Также

$K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.$

Для положительных аргументов принимает минимальное значение $0.879786843\dots$ в точке $x_{min}=0.53768886\dots.$

Ссылки

• К-функция на mathworld