Lp (пространство)

Для термина «LP» см. также другие значения.

$L^{p}$ (также встречается обозначение $L_{p}$; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их $p$-я степень интегрируема, где $p\geqslant 1$.

$L^{p}$ — важнейший класс банаховых пространств. $L^{2}$ (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение

Для построения пространств $L^{p}$ используются ${\mathcal {L}}^{p}$-пространства. Пространство ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ для пространства с мерой $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ и $1\leqslant p<\infty$ — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

$\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty$.

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ линейно.

На линейном пространстве ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ вводится полунорма:

$\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}$.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы

Далее, на ${\mathcal {L}}^{p}$ вводится отношение эквивалентности: $f\sim g$, если $f(x)=g(x)$ почти всюду. Это отношение разбивает пространство ${\mathcal {L}}^{p}$ на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$ можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ с построенной на нём нормой, и называется пространством $L^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ или просто $L^{p}$.

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами $L^{p}$ называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При $0<p<1$ $L^{p}$ не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника, однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота

Норма на $L^{p}$ вместе с линейной структурой порождает метрику:

$d(f,\;g)=\|f-g\|_{p}$,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ называют сходящейся к функции $f\in L^{p}$, если:

$\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$ при $n\to \infty$.

По определению, пространство $L^{p}$ полно, когда любая фундаментальная последовательность в $L^{p}$ сходится к элементу этого же пространства. Таким образом $L^{p}$ — банахово пространство.

Пространство L²

В случае $p=2$ норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве $L^{2}$ вводится следующим образом:

$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)$,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)$,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

$\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle }}$,

то есть норма порождается скалярным произведением. Ввиду полноты любого $L^{p}$ следует, что $L^{2}$ — гильбертово.

Пространство L^∞

Пространство $L^{\infty }$ строится из пространства ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

$\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|$, где $\mathrm {ess} \sup$ — существенный супремум функции.

$L^{\infty }$ — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой $\|\cdot \|_{\infty }$, называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

$f_{n}\to f$ в $L^{\infty }$, если $\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0$ при $n\to \infty$.

Свойства

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве $L^{p}$. Пусть $f_{n}(x)=n^{1/p}$ при $x\in (0,1/n]$ и $f_{n}(x)=0$ при $x\in (1/n,1]$, $f_{n}\in L^{p}$. Тогда $f_{n}\to 0$ почти всюду. Но $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$. Обратное также неверно.
• Если $\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$ при $n\to \infty$, то существует подпоследовательность $f_{n_{k}}$, такая что $f_{n_{k}}\to f$ почти всюду.
• $L^{p}$ функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ — подмножество $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда $L_{C^{\infty }}^{p}$ всюду плотно в $L^{p}$.
• $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ — сепарабельно при $p<\infty$.
• Если $\mu$ — конечная мера, например, вероятность, и $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$, то $L^{q}\subset L^{p}$. В частности, $L^{2}\subset L^{1}$, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства

Для пространств $\left(L^{p}\right)^{\star }$, сопряжённое к $L^{p}$ (пространств линейных функционалов на $L^{p}$) имеет место следующее свойство: если $1<p<\infty$, то $\left(L^{p}\right)^{\star }$ изоморфно $L^{q}$ ($\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$), где $1/p+1/q=1$. Любой линейный функционал на $L^{p}$ имеет вид:

$g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),$

где ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$.

В силу симметрии уравнения $1/p+1/q=1$, само пространство $L^{p}$ дуально (с точностью до изоморфизма) к $L^{q}$, а следовательно:

$\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.$

Этот результат справедлив и для случая $p=1$, то есть $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$. Однако $\left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}$ и, в частности, $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}$.

Пространства ℓ^p

Пусть $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$, где $m$ — счётная мера на $\mathbb {N}$, то есть $m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$. Тогда если $p<\infty$, то пространство $\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ представляет собой семейство последовательностей вида $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, таких что:

$\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty$.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

$\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$.

Получившееся нормированное пространство обозначается $\ell ^{p}$.

Если $p=\infty$, то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

$\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|$.

Получившееся пространство называется $\ell ^{\infty }$, оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив $p=2$, получается гильбертово пространство $\ell ^{2}$, чья норма порождена скалярным произведением:

$\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}}$,

если последовательности комплекснозначные, и:

$\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}},$

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с $\ell ^{p}$, где $1<p<\infty$ изоморфно $\ell ^{q}$, $1/p+1/q=1$. Для $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$. Однако $\left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\not \cong \ell ^{1}$.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.