R-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

R-функция (функция Рвачёва) — числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками её аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы (-\infty,0) и [0,\infty). Впервые R-функции были введены в работах В. Л. Рвачёва[1][2][3].

Определение[править | править вики-текст]

Числовая функция z=z(x,\;y) называется R-функцией, если существует такая сопровождающая булева функция \Phi\; с тем же числом аргументов, что

\mathrm{sign}(z)=\Phi(\mathrm{sign}(x),\; \mathrm{sign}(y)).

Аналогично вводится понятие R-функции при количестве аргументов n\;>\;2.

Каждой R-функции соответствует единственная сопровождающая булева функция. Обратное неверно: одной и той же булевой функции соответствует бесконечное число (ветвь) R-функций.

Множество R-функций замкнуто в смысле суперпозиции R-функций. Система R-функций \mathcal{H} называется достаточно полной, если множество всех суперпозиций элементов \mathcal{H} (множество \mathcal{H}-реализуемых функций) имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества R-функций. Достаточным условием полноты является полнота системы \mathcal{H}^* соответствующих сопровождающих булевых функций.

Полные системы R-функций[править | править вики-текст]

Наиболее часто используемой полной системой R-функций является система \mathcal{R}_\alpha (при -1 < \alpha \leq 1):

x \wedge_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y-\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),
x \vee_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y+\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),
\bar{x} \equiv -x.

При \alpha = 0\; имеем систему \mathcal{R}_0:

x \wedge_0 y \equiv x+y-\sqrt{x^2+y^2},\quad x \vee_0 y \equiv x+y+\sqrt{x^2+y^2},\quad \bar{x} \equiv -x.

При \alpha = 1\; имеем систему \mathcal{R}_1:

x \wedge_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y-|x-y|),\quad x \vee_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y+|x-y|),\quad \bar{x} \equiv -x.

В последнем случае R-функции конъюнкции и дизъюнкции совпадают с соответствующими t-нормой и t-конормой нечёткой логики:

x \wedge y \equiv \min(x,y),\quad x \vee y \equiv \max(x,y).

Приложения[править | править вики-текст]

С помощью R-функций оказывается возможным построение в неявной форме уравнений границ составных областей по известным уравнениям простых областей. Описание границы сложной области в виде единого аналитического выражения позволяет создавать структуры решения краевых задач математической физики, зависящие от неопределённых компонент и точно удовлетворяющие граничным условиям. Неопределённые компоненты таких структур могут далее находиться одним из вариационных или проекционных методов решения краевых задач (коллокации, Рэлея—Ритца, Бубнова—Галёркина—Петрова, наименьших квадратов). Метод решения краевых задач для уравнений в частных производных на основе теории R-функций носит название структурного метода R-функций или, в зарубежной литературе, RFM (R-Functions Method).

R-функции можно рассматривать как инструмент бесконечнозначной логики или нечёткой логики.

R-функции используются (в основном воспитанниками научной харьковской школы) при решении широкого класса задач математической физики (теории упругости[4][5][6][7][8], электродинамики[9][10][11], теории теплопроводности[12][13][14][15]), а также в многомерной цифровой обработке сигналов и изображений[16], машинной графике и других областях.

Применение теории R-функций и вейвлетов к решению краевых задач  математический физики[править | править вики-текст]

В работе профессора В.Ф. Кравченко и его ученика А.В. Юрина[11] предложен и обоснован новый метод, основанный на теории R-функций и WA-системами функций[17] (вейвлетами, построенными на основе атомарных функций), с применением вариационного принципа Галеркина-Петрова.

При рассмотрении широкого класса краевых задач различной физической природы возникает необходимость в решении дифференциальных уравнений в частных производных, в которых исследуемая область имеет сложную конфигурацию. В таких случаях, как правило, используются численные методы: сеточные (метод конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов), вариационные и проекционные (метод Ритца, Бубнова-Галеркина-Петрова, коллокаций, Трефтца, метод наименьших квадратов, метод фиктивных областей, R-функций). Однако, каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Так, сеточные методы обладают большой эффективностью алгоритма (за счет чего и получили широкое распространение), но при этом не точно учитывают геометрию исследуемого объекта. В случае вариационных методов не всегда можно построить базисные функции, которые удовлетворяли бы  всем требуемым условиям. Поэтому их использование ограничено. Следует особо выделить метод R-функций[10], обладающий геометрической гибкостью и универсальностью по отношению к выбранному способу минимизации функционала. Применение такого подхода требует значительных вычислительных затрат. Это обусловлено использованием структурных формул, в основе которых лежат построенные с помощью R-операций функции области. Такие функции могут иметь сложную структуру, а для вычисления интегралов от них по области нестандартной формы необходимо использовать квадратурные формулы с высоким порядком точности. Вейвлет-базисы позволяют обойти указанные выше недостатки благодаря своим уникальным свойствам[18][19] и разработать адаптивную расчетную схему без использования операции интегрирования. Такой подход возможен благодаря введению специальных коэффициентов, отражающих дифференциальные и интегральные характеристики базиса, а также коэффициентов разложения по вейвлетам функций области, краевых условий и правой части уравнения. Основным инструментом для реализации нового метода на основе R-функций и вейвлетов является схема Галеркина – Петрова[20][21] решения дифференциальных уравнений в частных производных.

В работе[11] на примере решения краевых задач эллиптического типа показана эффективность метода R-функций (функций В.Л. Рвачева) в сочетании с WA-системами функций[17], снимающего все недостатки, указанные ниже.

Недостатки R-функций[править | править вики-текст]

Метод R-функций позиционировался создателем и его школой, как универсальный, однако один из учеников Рвачева В.Л., профессор Слесаренко А.П., считает[источник не указан 286 дней], что он противоречит основным теориям приближений и его целесообразно использовать лишь для решения задач аналитической геометрии и некоторых частных краевых задач.

По мнению Слесаренко А.П. основные недостатки метода R-функций следующие:[22][23][24]

  • по мере усложнения границы области (поверхности), процесс построения R-функции усложняется, аналитические выражения становятся настолько громоздкими и малопригодными для практических расчетов. Метод R-функций встречает те же трудности, что и полиномы
  • R-функции математически точно описывают углы составных областей и ребра тел. В реальном физическом мире все грани обладают скруглением, при математически точном описании производные на границах углов и ребер оказываются бесконечными. Подобная идеализация приводит к принципиальной невозможности решить некоторые задачи
  • R-функции содержат разрывные производные в углах и на ребрах описываемых областей, это приводит к возникновению фиктивных сингулярных особенностей в пространстве С2 и, соответственно, к развалу итерационного процесса при решении задач оптимизации и управления образованием форм. Чтобы уйти от неинтегрируемых особенностей в решениях краевых задач исследователи вынуждены несобственные интегралы в проекционных методах заменять интегралами, имеющими конечные значения, что сводит математические методы к приближенным подходам и приводит к недопустимым погрешностям для задач с высокими градиентами искомой функции, а также делает невозможной оптимизацию решения соответствующих задач и создание методических рекомендаций по их решению.
  • Из-за разрывных производных выражения с R-функциями вступают в противоречие с теоремами Канторовича и Кнастера-Тарского, что делает их непригодными для области вычислительной информатики.

Для преодоления недостатков R-функций и метода R-функций созданы PS-функции и классы S-функций, а также регионально-структурный метод и его модификации.

Однако, перечисленные выше утверждения являются некорректными[11].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Рвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев: Техніка, 1967.
  2. Рвачёв В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев: Наук. думка, 1974.
  3. Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наук. думка 1982.
  4. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. — Киев: Наукова думка, 1973.
  5. Рвачёв В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977.
  6. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В. R-функции в задачах теории пластин. — Киев: Наукова думка 1987.
  7. Рвачёв В. Л., Синекоп Н. С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. — Киев: Наукова думка 1990.
  8. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
  9. Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. — М.: Физматлит, 2004.
  10. 1 2 Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
  11. 1 2 3 4 В.Ф. Кравченко, А.В. Юрин. Применение теории R-функций и вейвлетов к решению краевых задач эллиптического типа. Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т.14. №3. С. 4-39.
  12. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. — Киев: Наук. думка, 1978.
  13. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. — М.: Радиотехника, 2005.
  14. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.
  15. Матвеев В. А., Лунин Б. С., Басараб М. А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. — М.: Физматлит, 2008.
  16. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.
  17. 1 2 В.Ф. Кравченко, О.С. Лабунько, А.М. Лерер, Г.П. Синявский Глава 3, 4 // Вычислительные методы в современной радиофизике. Под. ред. В.Ф. Кравченко. — Москва: Физматлит, 2009.
  18. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
  19. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006.
  20. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1972.
  21. Красносельский М.А., Вайненко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
  22. Слесаренко А.П. S-функции в обратных задачах аналитической геометрии и моделировании тепловых процессов. / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский Журнал Передовых Технологий. - 2011. – Т3, №4(51). - С. 41—46.
  23. Слесаренко А. П. S-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский Журнал Передовых Технологий. - 2012. – Т1, № 4(55). - С. 4—10.
  24. Кобринович Ю.О. Регионально-структурный и структурно-разностный методы в математическом моделировании.// Технологический аудит и резервы производства. Спецвыпуск: Материалы международной научной конференции «Научная периодика славянских стран в условиях глобализации» - Ч.1 - Том «Информационные технологии. Математическое моделирование». - Киев,2012. – С. 45-46.

См. также[править | править вики-текст]