R-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

R-функция (функция Рвачёва) — числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками её аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы (-\infty,0) и [0,\infty). Впервые R-функции были введены в работах В. Л. Рвачёва[1][2][3].

Определение[править | править исходный текст]

Числовая функция z=z(x,\;y) называется R-функцией, если существует такая сопровождающая булева функция \Phi\; с тем же числом аргументов, что

\mathrm{sign}(z)=\Phi(\mathrm{sign}(x),\; \mathrm{sign}(y)).

Аналогично вводится понятие R-функции при количестве аргументов n\;>\;2.

Каждой R-функции соответствует единственная сопровождающая булева функция. Обратное неверно: одной и той же булевой функции соответствует бесконечное число (ветвь) R-функций.

Множество R-функций замкнуто в смысле суперпозиции R-функций. Система R-функций \mathcal{H} называется достаточно полной, если множество всех суперпозиций элементов \mathcal{H} (множество \mathcal{H}-реализуемых функций) имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества R-функций. Достаточным условием полноты является полнота системы \mathcal{H}^* соответствующих сопровождающих булевых функций.

Полные системы R-функций[править | править исходный текст]

Наиболее часто используемой полной системой R-функций является система \mathcal{R}_\alpha (при -1 < \alpha \leq 1):

x \wedge_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y-\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),
x \vee_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y+\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),
\bar{x} \equiv -x.

При \alpha = 0\; имеем систему \mathcal{R}_0:

x \wedge_0 y \equiv x+y-\sqrt{x^2+y^2},\quad x \vee_0 y \equiv x+y+\sqrt{x^2+y^2},\quad \bar{x} \equiv -x.

При \alpha = 1\; имеем систему \mathcal{R}_1:

x \wedge_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y-|x-y|),\quad x \vee_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y+|x-y|),\quad \bar{x} \equiv -x.

В последнем случае R-функции конъюнкции и дизъюнкции совпадают с соответствующими t-нормой и t-конормой нечёткой логики:

x \wedge y \equiv \min(x,y),\quad x \vee y \equiv \max(x,y).

Приложения[править | править исходный текст]

С помощью R-функций оказывается возможным построение в неявной форме уравнений границ составных областей по известным уравнениям простых областей. Описание границы сложной области в виде единого аналитического выражения позволяет создавать структуры решения краевых задач математической физики, зависящие от неопределённых компонент и точно удовлетворяющие граничным условиям. Неопределённые компоненты таких структур могут далее находиться одним из вариационных или проекционных методов решения краевых задач (коллокации, Рэлея—Ритца, Бубнова—Галёркина—Петрова, наименьших квадратов). Метод решения краевых задач для уравнений в частных производных на основе теории R-функций носит название структурного метода R-функций или, в зарубежной литературе, RFM (R-Functions Method).

R-функции можно рассматривать как инструмент бесконечнозначной логики или нечёткой логики.

R-функции используются (в основном выходцами из харьковской школы) при решении широкого класса задач математической физики (теории упругости[4][5][6][7][8], электродинамики[9][10], теории теплопроводности[11][12][13][14]), а также в многомерной цифровой обработке сигналов и изображений[15], машинной графике и других областях.

Недостатки R-функций[править | править исходный текст]

Метод R-функций позиционировался создателем и его школой, как универсальный, однако один из учеников Рвачева В.Л., профессор Слесаренко А.П., считает[источник не указан 128 дней], что он противоречит основным теориям приближений и его целесообразно использовать лишь для решения задач аналитической геометрии и некоторых частных краевых задач.

Основные недостатки метода R-функций:[16][17][18]

  • по мере усложнения границы области (поверхности), процесс построения R-функции усложняется, аналитические выражения становятся настолько громоздкими и малопригодными для практических расчетов. Метод R-функций встречает те же трудности, что и полиномы
  • R-функции математически точно описывают углы составных областей и ребра тел. В реальном физическом мире все грани обладают скруглением, при математически точном описании производные на границах углов и ребер оказываются бесконечными. Подобная идеализация приводит к принципиальной невозможности решить некоторые задачи
  • R-функции содержат разрывные производные в углах и на ребрах описываемых областей, это приводит к возникновению фиктивных сингулярных особенностей в пространстве С2 и, соответственно, к развалу итерационного процесса при решении задач оптимизации и управления образованием форм. Чтобы уйти от неинтегрируемых особенностей в решениях краевых задач исследователи вынуждены несобственные интегралы в проекционных методах заменять интегралами, имеющими конечные значения, что сводит математические методы к приближенным подходам и приводит к недопустимым погрешностям для задач с высокими градиентами искомой функции, а также делает невозможной оптимизацию решения соответствующих задач и создание методических рекомендаций по их решению.
  • Из-за разрывных производных выражения с R-функциями вступают в противоречие с теоремами Канторовича и Кнастера-Тарского, что делает их непригодными для области вычислительной информатики.

Для преодоления недостатков R-функций и метода R-функций созданы PS-функции и классы S-функций, а также регионально-структурный метод и его модификации.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Рвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев: Техніка, 1967.
  2. Рвачёв В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев: Наук. думка, 1974.
  3. Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наук. думка 1982.
  4. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. — Киев: Наукова думка, 1973.
  5. Рвачёв В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977.
  6. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В. R-функции в задачах теории пластин. — Киев: Наукова думка 1987.
  7. Рвачёв В. Л., Синекоп Н. С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. — Киев: Наукова думка 1990.
  8. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
  9. Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. — М.: Физматлит, 2004.
  10. Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
  11. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. — Киев: Наук. думка, 1978.
  12. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. — М.: Радиотехника, 2005.
  13. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.
  14. Матвеев В. А., Лунин Б. С., Басараб М. А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. — М.: Физматлит, 2008.
  15. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.
  16. Слесаренко А.П. S-функции в обратных задачах аналитической геометрии и моделировании тепловых процессов. / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский Журнал Передовых Технологий. - 2011. – Т3, №4(51). - С. 41—46.
  17. Слесаренко А. П. S-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский Журнал Передовых Технологий. - 2012. – Т1, № 4(55). - С. 4—10.
  18. Кобринович Ю.О. Регионально-структурный и структурно-разностный методы в математическом моделировании.// Технологический аудит и резервы производства. Спецвыпуск: Материалы международной научной конференции «Научная периодика славянских стран в условиях глобализации» - Ч.1 - Том «Информационные технологии. Математическое моделирование». - Киев,2012. – С. 45-46.

См. также[править | править исходный текст]