Sinc-фильтр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Sinc-фильтр — в обработке сигналов идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя заданную низкочастотную полосу сигнала. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию. Реальные фильтры могут по своим характеристикам только приближаться к sinc-фильтру, так как идеальный sinc-фильтр физически нереализуем в силу бесконечного порядка передаточной функции и бесконечности ядра по времени в обе стороны (это накладывает ограничения на его реализацию как во временно́й области, так и в частотной).

Sinc-фильтры используются для математического описания обработки сигналов, в частности при доказательстве теоремы Котельникова и формулы Уиттакера-Шеннона.

Характеристики[править | править исходный текст]

Временны́е[править | править исходный текст]

Нормированная импульсная характеристика
Нормированная частотная характеристика

Пусть f_0\, — частота среза (ограничивающая полосу пропускания) в герцах. Импульсная характеристика такого фильтра получается при помощи обратного преобразования Фурье от частотной характеристики:

h(t) = \mathcal{F}^{-1} \{ H(f) \}(t) = 2f_0\cdot \frac{\sin(2\pi f_0t)}{2\pi f_0t} = 2f_0\cdot \mathrm{sinc}(2\pi f_0\cdot t)\,, где \mathrm{sinc} — нормированная sinc-функция.

Частотные[править | править исходный текст]

Частотная характеристика фильтра:

H(f) = \mathrm{rect} \left( \frac{f}{2f_0} \right), где \mathrm{rect} — прямоугольная функция.

Пусть x(t)\, — любая функция вещественного аргумента, для которой существует преобразование Фурье \mathcal{F} \{x \} = X(\omega). Тогда sinc-фильтр, имеющий импульсную характеристику h(t)\,, воздействует на сигнал таким образом, что на его выходе частоты выше частоты среза зануляются по амплитуде, а компоненты частотной характеристики ниже частоты среза остаются неизменными:

\mathcal{F} \{ h*x \} = \left \{ \begin{matrix}
X(\omega) & |\omega| \leq 2\pi f_0 \\
0 & |\omega| > 2\pi f_0
\end{matrix} \right., где *\, — оператор свёртки.

См. также[править | править исходный текст]