U(1)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

U(1) (унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}. Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе SO(2) вращений двумерного вещественного пространства.

Названия и обозначения[править | править вики-текст]

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера 1\times 1. Данная группа естественным образом изоморфна группе SO(2) вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как T или \mathbb T в связи с тем, что квадрат этой группы \mathbb T\times\mathbb T представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп \mathbb T, не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.

U(1) упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: \partial D) или просто «окружность» (S или S^1).

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

Группа U(1) компактна, и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную U(1).

Группа U(1) не является односвязной.

Элементарное толкование[править | править вики-текст]

Сложение углов:
150° + 270° = 60°

Элементы группы U(1) определяют, фактически, величину угла: комплексное число z можно записать как z = e^{i\phi} (причём \phi будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу U(1) можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов SO(2) всей плоскости вокруг начала координат.

Углы, различающиеся на целое число оборотов (2\pi n, если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на 120^\circ=2\pi/3 и 240^\circ=4\pi/3 будет равна нулю. Таким образом, группа U(1) изоморфна фактор-группе {\mathbb R}/2\pi{\mathbb Z} группы вещественных чисел по модулю 2\pi. Если измерять угол в оборотах (2\pi=360^\circ), то U(1)\approx{\mathbb R}/{\mathbb Z} — группа дробных частей вещественных чисел.

Применение[править | править вики-текст]

U(1) является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).

В физике калибровочная U(1)-теория — электродинамикауравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике U(1) — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.

См. также[править | править вики-текст]