Математический анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах[1]. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление» (англ. Calculus).

История[править | править вики-текст]

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманной. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия[2].

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…»[3]. Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики[править | править вики-текст]

Готфрид Вильгельм Лейбниц

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник[4], излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M — подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты x и y, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение x влечёт изменение y. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d.[5] … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом.[6]

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.[7]

Отсюда получается x+dx=x, далее

dxy = (x+dx)(y+dy)-xy= xdy+ydx + dxdy= (x+dx)dy+ ydx=xdy+ydx

и проч. правила дифференцирования.

Касательная к кривой

Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.[8]

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой.[9] Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаёт большое значение величине

y\frac{dx}{dy}-x,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.[10]

Вероятно, эта формулировка небезупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y=x^2, тогда в силу первого требования

2xdx+ dx^2=2xdx;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy=0.[11]. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx[10].

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x=a. Тогда точка кривой с x=a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x=a.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла[12]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер[править | править вики-текст]

Леонард Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница[13], однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция — это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck) или аналитическое выражение.[14]

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.[15]

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением».[16] Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа \infty[17]. В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты[18].

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)(\cos y + \sqrt{-1}\sin y)=\cos{(x+y)}+ \sqrt{-1} \sin{(x+y)},

а отсюда

2\cos nx =(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)^n+(\cos x - \sqrt{-1}\sin x)^n

Полагая n=\infty и z=nx, он получает

2\cos z =\left (1 + \frac{\sqrt{-1} z}{\infty}\right)^\infty+\left (1 - \frac{\sqrt{-1}z}{\infty}\right)^\infty=e^{\sqrt{-1}z}+e^{-\sqrt{-1}z} ,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

e^{\sqrt{-1}x}=\cos{x}+\sqrt{-1}\sin{x}.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне).[19] В XIX веке с подачи Казорати[20] это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа \infty.

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона — формула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение \frac{d^ky}{dx^k}, которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой =Xdx, называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленным спереди.[21]

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., \Gamma-функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж[править | править вики-текст]

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций[22] Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа[23] в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x), дав графический способ записи зависимости — ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\dots,

коэффициенты которого будут новыми функциями x. Остаётся назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

f'(x+h)=p+2qh+\dots,

поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x), то есть

q=\frac{1}{2!}f''(x) и т. д.[24]

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.[25]

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.[26] Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

f(x)=e^{-1/x^2},

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x). Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при x\not=0. Лишь в конце XIX века Прингсхейм[27] доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

\Psi(x)=\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\cos{(3^kx)}}{k!}.

Дальнейшее развитие[править | править вики-текст]

В XVIII веке были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции. На фундаменте анализа возникла математическая физика, аналитические методы глубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел.

В XIX веке Коши первым дал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие предела последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел. В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованию анализа.

Библиография[править | править вики-текст]

Энциклопедические статьи[править | править вики-текст]

Учебная литература[править | править вики-текст]

Стандартные учебники[править | править вики-текст]

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

  • Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна, затем в 1930-х перенесён на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) и задачник.
  • Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
  • Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математике, т. 1-5.

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

  • Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
  • Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). — М.: Физматлит, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1
  • Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах
  • Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.
  • Смирнов В. И. Курс высшей математики, в 5 томах. М.: Наука, 1981 (6-е издание), БХВ-Петербург, 2008 (24-е издание).
  • Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8.
  • Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6.
  • Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2.
  • Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7.
  • Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, 2003: Часть 1. Функции одной переменной, Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
  • Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу (в двух частях). — Минск: БГУ, 1974.

Учебники повышенной сложности[править | править вики-текст]

Учебники:

  • Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 — небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

  • Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1, Часть 2, 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
  • Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Учебники для гуманитарных специальностей[править | править вики-текст]

  • А. М. Ахтямов Математика для социологов и экономистов. — М. : Физматлит, 2004.
  • Н. Ш. Кремер и др. Высшая математика для экономистов. Учебник. 3-е изд. — М. : Юнити, 2010

Задачники[править | править вики-текст]

  • Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. — 20-е изд. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 384 с.
  • П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.
  • Г. И. Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 1966.
  • И. А. Каплан. Практические занятия по высшей математике, в 5 частях.. — Харьков, Изд. Харьковского гос. ун-та, 1967, 1971, 1972.
  • А. К. Боярчук, Г. П. Головач. Диференциальные уравнения в примерах и задачах. Москва. Едиториал УРСС, 2001.
  • А. В. Пантелеев, А. С. Якимова, А. В. Босов. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. «МАИ», 2000
  • А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. ВШ, 1989.
  • К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю.А Шевченко . Сборник задач по высшей математике. 1 курс. — 7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
  • И. А. Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (Функции одной переменной). — М., Физматлит, 1970.
  • В. Д. Черненко. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т. — СПб.: Политехника, 2003.

Классические произведения[править | править вики-текст]

  • Лопиталь. Анализ бесконечно малых
  • Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug/Leipzig-Berlin, 1914.
  • Эйлер. Введение в анализ, Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление
  • Коши. Краткое изложение уроков по дифференциальному и интегральному исчислению
  • Штурм. Курс анализа. Т.1,2 — Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
  • Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2
  • М. Е. Ващенко-Захарченко, Алгебраический Анализ или Высшая Алгебра, 1887. — Первый[источник не указан 1389 дней] российский учебник по мат. анализу.

Сочинения по истории анализа[править | править вики-текст]

  • Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
  • Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
  • Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)
  • Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
  • Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Анализ математический // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. Ньютон И. Математические работы. M, 1937.
  3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220—226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166—173.
  4. Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld
  5. Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
  6. Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
  7. Лопиталь, гл. 1, требование 1.
  8. Лопиталь, гл. 1, требование 2.
  9. Лопиталь, гл. 2, опр.
  10. 1 2 Лопиталь, § 46.
  11. Лопиталь беспокоится о другом: dy для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит её отрицательность. Замечание, сделанное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании y с ростом x следует писать dxy=ydx-xdy, однако далее это не используется.
  12. Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
  13. См.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23)
  14. См. Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций, Учпедгиз, 1944. С. 21 и сл.; Koenig F. Kommentierender Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein. Leipzig: Teubner, 1987; а также Исторический очерк в статье Функция
  15. Эйлер. Введение в анализ. Т. 1. Гл. 1, § 4
  16. Эйлер. Введение в анализ. Т. 1. Гл. 1, § 6
  17. Эйлер обозначает это число как i, что не может не путать современного читателя.
  18. Введении в анализ, т. 1, гл. 8
  19. Некоторые исследователи (см., напр., История Математики, т. 2) хотят видеть в сказанном во втором томе Введения в анализ ростки новой трактовки понятия функции, но в тексте говорится лишь о том, что кривые, а вовсе не функции, могут не быть представимы в виде единого выражения для счёта, то есть одной функции.
  20. Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. Pavia, 1868. P. 191
  21. Эйлер. Интегральное исчисление. Т. 1, опр. 2
  22. Lagrange. OEvres. Vol. 9
  23. Lacroix. Traite du calcul differentiel et du calcul integral. Vol. 1-3. 1 ed., 1798. (Большой Лакруа)// http://gallica.bnf.fr
  24. См. также: Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций. М., 1944. C. 22-24
  25. Lacroix. Traite, vol. 2, § 594.
  26. См. также: История математики, т. 3., с. 297—300
  27. Pringssheim A.// Math. Ann. Bd. 43 (1893); см. также: Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций. М., 1944. C. 16-17.

Ссылки[править | править вики-текст]