Функция Жуковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример действия функции Жуковского — окружность (вверху) отображается на профиль Жуковского — Чаплыгина (внизу)

Функция Жуковского — конформное отображение, используемое для описания некоторых принципов, связанных с профилями крыльев самолётов. Названа в честь Н. Е. Жуковского из-за приложений, которые он дал этой функции в аэродинамике[1]. Относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского[2].

Определение[править | править код]

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости по формуле[1]

Также функцию Жуковского можно определить как композицию дробно-линейной и квадратичной функции[3]:

где

Свойства[править | править код]

  • [1].
  • Обратной к функции Жуковского является функция [4].
  • отлична от нуля при . Следовательно, отображение является конформным везде, за исключением этих точек[5].
  • Функция Жуковского совершает следующие конформные отображения[2]:
  • круг на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку действительной оси.
  • круг с разрезами по отрезкам и , где на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку .
  • верхняя полуплоскость на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам и на действительной оси.
  • полукруг на нижнюю полуплоскость.
  • окружность, проходящая через точку и содержащая точку , на замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла и называющуюся профилем Жуковского — Чаплыгина. Вариацией радиуса и положения центра окружности можно менять угол изгиба и толщину крыла[6].

Преобразование Кармана — Треффца[править | править код]

Обобщением функции Жуковского является преобразование Кармана — Треффца, которое связывает исходную переменную с преобразованной равенством

где . При получается [7].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Евграфов, М. А. Аналитические функции. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-014200-X.
  • Маркушевич, А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.
  • Milne-Thomson, L. M.. Theoretical aerodynamics (англ.). — 4th ed. — New York: Dover Publications, 1973. — ISBN 0-486-61980-X.