Дигамма-функция

Дигамма-функция $\psi (x)$

В математике дига́мма-фу́нкция ${\textstyle {\psi (x)}}$ определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

$\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.$

Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства

• Дигамма-функция связана с гармоническими числами соотношением

  $\displaystyle {\psi (n)=H_{n-1}-\gamma },$

где ${\textstyle {H_{n}}}$ — $n$-е гармоническое число, а ${\textstyle {\gamma }}$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Формула дополнения

  $\displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operatorname {ctg} (\pi x)}$

• Рекуррентное соотношение

  $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$

• Разложение в бесконечную сумму

  $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}$

где $\zeta (x)$ — дзета-функция Римана.

• Логарифмическое разложение

  $\psi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)$

• Теорема Гаусса

  ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)}}=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2}}\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{q}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)$

при целых $p,q$ с условием $0<p<q$.

• Для всех $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ справедливо разложения в ряд:

  $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Digamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Свойства дигамма-функции (англ.)