Парадокс спящей красавицы

Парадокс спящей красавицы — парадокс теории вероятностей. Парадокс представляет собой задачу на расчет вероятности, которая имеет два различных решения, противоречащих друг другу.

Философ Адам Элга опубликовал статью с описанием этого парадокса с указанием в примечании, что парадокс был взят из неопубликованной работы Арнольда Зубоффа.

Формулировка

Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки её будят, делают второй укол (после чего она забывает о пробуждении) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.

Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала орлом?

Решение 1.

У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность выпадения орла равна 1/2.

Решение 2.

Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т. к. в случае решки спящую красавицу будят 2 раза). Поэтому вероятность выпадения орла равна 1/3.

Адам Элга утверждает, что правильным ответом является 1/3.

При этом до начала испытания (до броска монеты) Спящая красавица оценивает эту вероятность как 1/2, но одновременно знает, что после пробуждения она будет оценивать вероятность как 1/3. В этом и состоит парадокс.

Предложенное решение

Адам Элга в свой статье предлагает следующее решение задачи.

Предположим, что первое пробуждение происходит в понедельник, а второе (если оно есть) — во вторник. Затем, когда вы просыпаетесь, вы уверены, что находитесь в одном из трех «положений»:

H1 — ОРЁЛ и это понедельник;

T1 — РЕШКА и это понедельник;

Т2 — РЕШКА и это вторник.

При первом пробуждении вы уверены в следующем: вы находитесь в положении H1 тогда и только тогда, когда исход броска монеты «орел». Поэтому вычисления вероятности P(H1) достаточно для решения парадокса.

Если бы (после первого пробуждения) вы узнали, что результат броска «решка», это было бы равносильно вашему знанию, что вы находитесь либо в Т1, либо в Т2. Поскольку пребывание в Т1 субъективно выглядит точно так же, как и пребывание в Т2, то P(T1) = P(T2).

Перед исследователями стоит задача с помощью честной монеты определить, стоит ли будить вас один или два раза. Они могли бы выполнить свою задачу двумя способами: 1) либо сначала подбросить монету, а затем будить вас один или два раза в зависимости от результата; 2) или сначала разбудить вас один раз, а затем подбросить монету, чтобы определить, будить ли вас во второй раз.

Ваше доверие (после пробуждения) в выпадение «орла» должна быть одинаковым независимо от того, используют ли исследователи метод 1 или 2. Поэтому предположим, что они используют (и вы об этом знаете) метод 2. Если (после пробуждения) вы узнаете, что сегодня понедельник, это будет равносильно тому, что вы узнаете, что находитесь либо в H1, либо в T1. Из этого следует, что P(H1) = P(T1).

Комбинируя результаты, мы получаем, что P(H1) = P(T1) = P(T2). Так как сумма этих вероятностей равна 1, то P(H1) = 1/3.

Парадокс в формулировке Зубоффа

Арнольд Зубофф в позднее опубликованной работе даёт несколько другую формулировку парадокса.

Представьте себе «игру в пробуждение», в которой вначале гипнотизер усыпляет одного игрока. Затем он будет находиться в этом гипнотическом сне в течение триллиона дней (за исключением некоторых периодов). После того, как он уснет, будет брошена честная монета, чтобы определить, какая из двух процедур будет соблюдена: 1) либо он будет пробужден на короткий период в каждый из триллиона дней, 2) либо он будет пробужден на короткий период только один раз - только в один день, случайно выбранный из триллиона.

К этому следует добавить, что в конце любого периода пробуждения гипнотизер, прежде чем снова погрузить игрока в сон, навсегда стирает из его сознания воспоминание о пробуждении. Таким образом, какое бы ни было число пробуждений, одно или триллион, каждое будет казаться первым пробуждением.

Предположим, что игрок знает всё это, но ему не говорят, какая из двух процедур выполняется в его игре. Может ли он каким-то образом определить, пробуждается ли он один раз или триллион?

Представьте, что вы игрок, и теперь вы проснулись. Кажется, вы можете рассуждать следующим образом: «Было бы в триллион раз менее вероятно, что я буду в этот день бодрствовать, если бы для пробуждения был выбран только один день вместо всего триллиона дней. То, что я теперь бодрствую, было бы, следовательно, чрезвычайно маловероятно, если бы в игре было только одно пробуждение. Поэтому, учитывая свидетельство того, что я сегодня бодрствую, я должен сделать вывод, что гипотеза о том, что существует триллион пробуждений, гораздо более вероятна, чем гипотеза о том, что существует только одно».

Проблема Спящей красавицы видна с точки зрения игрока непосредственно перед началом игры. Кажется несомненным, что до начала игры (до броска монеты) вы ничего не можете сказать о том, будете ли вы пробуждены в предстоящей игре один раз или триллион раз. Тем не менее, вы можете знать, что при следующем рассуждении вы будете правильно делать вывод, что происходит триллион пробуждений.

По мнению Зубоффа, причиной этого парадокса являются объективная индивидуация опыта: опыт пробуждения в разные дни является разным опытом, поскольку происходит в разное объективное время. Если же исходить из субъективной индивидуации опыта, т.е. опыт пробуждения в любой день является одним и тем же опытом, то вероятностный вывод после пробуждения невозможен и парадокс пропадает.