Площадь фигуры

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении[править | править код]

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

Положительность — площадь неотрицательна;
Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon >0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$ , такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ , где $S(P)$ обозначает площадь $P$ .

Примеры квадрируемых фигур

многоугольники;
любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.

Связанные определения[править | править код]

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии[править | править код]

Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
- То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).

Формулы[править | править код]

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$a$ — длина стороны треугольника.
Треугольник	${\sqrt {p{\cdot }(p-a){\cdot }(p-b){\cdot }(p-c)}}$	Формула Герона. $p$ — полупериметр, $a$ , $b$ и $c$ — длины сторон треугольника.
Треугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Треугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ и $h$ — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат	$a^{2}$	$a$ — длина стороны квадрата.
Прямоугольник	$a{\cdot }b$	$a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.
Ромб	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ — сторона ромба, $\alpha$ — внутренний угол, $b,c$ — диагонали.
Параллелограмм	$b{\cdot }h$	$b$ — длина одной из сторон параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$a$ и $b$ — длины параллельных сторон, а $h$ — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ и $m$ — длины диагоналей, и $\phi$ — угол между ними.
Правильный шестиугольник	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$a$ — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2}}){\cdot }a^{2}$	$a$ — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник	${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)}}$	$a$ — длина стороны многоугольника, а $n$ — количество сторон многоугольника.
Правильный многоугольник	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$a$ — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а $p$ — периметр многоугольника.
Произвольный многоугольник	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Формула площади Гаусса. $(x_{i},y_{i})$ — координаты вершин $n$ -угольника, $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
Круг	$\pi {\cdot }r^{2}$ или ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ — радиус окружности, а $d$ — её диаметр.
Сектор круга	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ и $\theta$ — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$a$ и $b$ — большая и малая полуоси эллипса.