Прямая

Запрос «Прямая линия» перенаправляется сюда; о фильме см. Прямая линия (фильм).

Изображение прямых в прямоугольной системе координат

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.

Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках».

Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов.

Свойства прямой в евклидовой геометрии

Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными (следует из предыдущего).
• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельны;
  • прямые скрещиваются.
• Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
$\scriptstyle {y=kx+b,\;{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$ или $\scriptstyle {x\cos \theta +y\sin \theta -p=0}$

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

$Ax+By+C=0,$

где $A,B$ и $C$ — произвольные постоянные, причём постоянные $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

При $A=0$ прямая параллельна оси $Ox$, при $B=0$ — параллельна оси $Oy$.

Вектор с координатами $(A,B)$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При $C=0$ прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.$

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось $Oy$ в точке $(0,\;b)$ и образующей угол $\varphi$ с положительным направлением оси $Ox$:

$y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .$

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси $Oy.$ (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Получение уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось $Ox$ в точке $(a,\;0)$ и ось $Oy$ в точке $(0,\;b)$:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

$x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,$

где $p$ — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а $\theta$ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси $Ox$ и направлением этого перпендикуляра. Если $p=0$, то прямая проходит через начало координат, а угол $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}$ задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой

Пусть дана прямая $L.$ Тогда $OP\perp L$ и $|{\overrightarrow {OP}}|=p.$ Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт ${\overrightarrow {e_{p}}},|{\overrightarrow {e_{p}}}|=1.$ Допустим, что угол между $|{\overrightarrow {e_{p}}}|$ и осью $Ox$ равен $\theta .$ Так как $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ то можно записать: ${\overrightarrow {e_{p}}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ Теперь рассмотрим произвольную точку $M(x,y).$ Проведём радиус-вектор ${\overrightarrow {OM}}=(x,y).$ Теперь найдём проекцию ${\overrightarrow {OM}}$ на вектор ${\overrightarrow {e_{p}}}.$ $({\overrightarrow {e_{p}}},{\overrightarrow {OM}})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ Следовательно, $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$ Это и есть нормальное уравнение прямой. ■

Если прямая задана общим уравнением $Ax+By+C=0,$ то отрезки $a$ и $b,$ отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент $k,$ расстояние прямой от начала координат $p,$ $\cos \theta$ и $\sin \theta$ выражаются через коэффициенты $A$, $B$ и $C$ следующим образом:

$a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},$

$p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.$

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие $p>0.$ В этом случае $\cos \theta$ и $\sin \theta$ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если $C=0,$ то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки на вещественной плоскости

Если заданы две несовпадающие точки на вещественной плоскости с координатами $(x_{1},\;y_{1})$ и $(x_{2},\;y_{2})$, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

${\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0$

или

${\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

или в общем виде

$\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.$

Уравнение прямой, проходящей через две точки на комплексной плоскости

Если заданы две несовпадающие точки на комплексной плоскости $z_{1}$ и $z_{2}$, то прямая, проходящая через них, задаётся следующим уравнением:

${\begin{vmatrix}z&{\bar {z}}&1\\z_{1}&{\bar {z}}_{1}&1\\z_{2}&{\bar {z}}_{2}&1\end{vmatrix}}=0$

или в одну строку:

$({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})z+(z_{2}-z_{1}){\bar {z}}+(z_{1}{\bar {z}}_{2}-z_{2}{\bar {z}}_{1})=0.$

Упростим запись этого уравнения:

${\bar {p}}z+p{\bar {z}}-2=0$ (или $\operatorname {Re} ({\bar {p}}z)=1)$,

положив

$p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}},$ ${\bar {p}}=2{\frac {{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}}{z_{1}{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}z_{2}}}.$

Следовательно, прямая линия полностью определяется выбором комплексного числа $p$. Как точка на комплексной плоскости, так и прямая определяются одним вектором или двумя координатами. Комплексное числе $p$ называется вектором прямой, а его компоненты называются координатами прямой.

Определим геометрическую природу вектора прямой $p$, определяющего просто точку $P$ на комплексной плоскости, рассмотрев два его свойства:

• из того, что в определении $p$

$p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}}$

знаменатель есть чисто мнимое комплексное число, следует, что вектор $p$ нормален к вектору $z_{2}-z_{1}$, то есть нормален к прямой $z_{1}z_{2};$

• абсолютная величина знаменателя в определении $p$ равна удвоенной площади треугольника $\triangle Oz_{1}z_{2}$ с основанием $z_{1}z_{2}$, следовательно, абсолютная величина $p$ обратно пропорционален длине перпендикуляра, опущенного из начала координат $O$ к прямой $z_{1}z_{2}.$ Другими словами, точка $P$ есть инверсия основания этого перпендикуляра.

Получение векторного параметрического уравнения прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором ${\vec {r}}_{0},$ конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой ${\vec {u}}.$ Параметр $t$ пробегает все действительные значения.

${\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.$

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

${\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}$

где $t$ — произвольный параметр, $a_{x},\;a_{y}$ — координаты $x$ и $y$ направляющего вектора прямой. При этом

$k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},$

$p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.$

Смысл параметра $t$ аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод

${\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases}}$

${\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases}}$

${\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}$

${\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}$

где $a_{x},a_{y}$ — координаты $x$ и $y$ направляющего вектора прямой, $x_{0}$ и $y_{0}$ координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах $\rho$ и $\varphi$:

$\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0$

или

$\rho \cos(\varphi -\theta )=p.$

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

$\xi x+\eta y=1.$

Числа $\xi$ и $\eta$ называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),$

где ${\vec {r}}_{0}$ — радиус-вектор некоторой фиксированной точки $M_{0},$ лежащей на прямой, ${\vec {a}}$ — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), ${\vec {r}}$ — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

$x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),$

где $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ — координаты некоторой фиксированной точки $M_{0},$ лежащей на прямой; $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$ — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

${\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},$

где $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ — координаты некоторой фиксированной точки $M_{0},$ лежащей на прямой; $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$ — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой^{[уточнить]} в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

$({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0$ и $({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,$

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

${\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}$

Векторное уравнение прямой в пространстве:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой ${\vec {r}}$ на фиксированный направляющий вектор прямой ${\vec {a}}$:

$[{\vec {r}},{\vec {a}}]={\vec {M}},$

где фиксированный вектор ${\vec {M}}$, ортогональный вектору ${\vec {a}}$, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки $(x_{1},\;y_{1})$, $(x_{2},\;y_{2})$ и $(x_{3},\;y_{3})$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

${\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.$

Отклонение точки $(x_{1},\;y_{1})$ от прямой $Ax+By+C=0$ может быть найдено по формуле

$\delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},$

где знак перед радикалом противоположен знаку $C.$ Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$ до прямой, заданной параметрическим уравнением

${\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}$

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент $t$ этой точки может быть найден по формуле

$t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0})}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.$

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

или

$y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}$

пересекаются в точке

$x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.$

Угол $\gamma _{12}$ между пересекающимися прямыми определяется формулой

$\mathrm {tg} \,\gamma _{12}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.$

При этом под $\gamma _{12}$ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $k_{1}$ и $b_{1}$) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ или $k_{1}=k_{2}$, и перпендикулярны, если $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ или $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}$.

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ можно выразить уравнением $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$ При этом расстояние между этими прямыми будет равно

$\delta ={\frac {C_{1}-C}{\pm {\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}};$

Если же уравнение прямой задано как $y_{1}=kx_{1}+b_{1}$, а уравнение прямой параллельной ей $y=kx+b$, то расстояние можно вычислить, как

$\delta ={\frac {|b_{1}-b|}{\sqrt {1+k^{2}}}}.$

Если знак перед радикалом противоположен $C_{1},$ то $\delta$ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0$

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

${\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0.$

Если $A_{2}=-B_{1}$ и $B_{2}=A_{1}$, то прямые $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$ перпендикулярны.

Некоторые специальные типы прямых

• Прямая Александрова
• Прямая Симсона
• Прямая Суслина
• Прямая Эйлера
• Числовая прямая

Литература

• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике. — Выпуск 4. — Гостехиздат, 1952 г. — 32 стр.
• Прямая // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2
• Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their ApplicationsThe Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.

Ссылки

• Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»