Разделение секрета

Каждая доля секрета — это плоскость, а секрет представляет собой точку пересечения трёх плоскостей. Две доли секрета позволяют получить линию, на которой лежит секретная точка

Разделение секрета (англ. secret sharing) — термин в криптографии, под которым понимают любой из способов распределения секрета среди группы участников, каждому из которых достаётся своя некая доля. Секрет может воссоздать только коалиция участников из первоначальной группы, причём входить в коалицию должно не менее некоторого изначально известного их числа.

Схемы разделения секрета применяются в случаях, когда существует значимая вероятность компрометации одного или нескольких хранителей секрета, но вероятность недобросовестного сговора значительной части участников считается пренебрежимо малой.

Существующие схемы имеют две составляющие: разделение и восстановление секрета. К разделению относится формирование частей секрета и распределение их между членами группы, что позволяет разделить ответственность за секрет между её участниками. Обратная схема должна обеспечить его восстановление при условии доступности его хранителей в некотором необходимом количестве.

Пример использования: протокол тайного голосования на основе разделения секрета.

Простейший пример схемы разделения секрета

Пусть имеется группа из $t$ человек и сообщение $s$ длины $n$, состоящее из двоичных символов. Если подобрать случайным образом такие двоичные сообщения $s_{1},\ldots ,s_{t}$, что в сумме они будут равняться $s$, и распределить эти сообщения между всеми членами группы, получится, что прочесть сообщение будет возможно только в случае, если все члены группы соберутся вместе.

В такой схеме есть существенная проблема: в случае утраты хотя бы одного из членов группы секрет будет утерян для всей группы безвозвратно.

Пороговая схема

В отличие от процедуры разбиения секрета, где $t=n$, в процедуре разделения секрета количество долей, которые нужны для восстановления секрета, может отличаться от того, на сколько долей секрет разделён. Такая схема носит названия пороговой схемы $\left(t,n\right)$, где $n$ — количество долей, на которые был разделён секрет, а $t$ — количество долей, которые нужны для восстановления секрета. Идеи схем $t\neq n$ были независимо предложены в 1979 году Ади Шамиром и Джорджем Блэкли. Кроме этого, подобные процедуры исследовались Гусом Симмонсом.

Если коалиция участников такова, что они имеют достаточное количество долей для восстановления секрета, то коалиция называется разрешённой. Схемы разделения секрета, в которых разрешённые коалиции участников могут однозначно восстановить секрет, а неразрешённые не получают никакой апостериорной информации о возможном значении секрета, называются совершенными.

Схема Шамира

Через две точки можно провести неограниченное число полиномов степени 2. Чтобы выбрать из них единственный — нужна третья точка

Основная статья: Схема разделения секрета Шамира

Идея схемы заключается в том, что двух точек достаточно для задания прямой, трех точек — для задания параболы, четырёх точек — для кубической параболы, и так далее. Чтобы задать многочлен степени $k$, требуется $k+1$ точек.

Для того, чтобы после разделения секрет могли восстановить только $k$ участников, его «прячут» в формулу многочлена степени $(k-1)$ над конечным полем $G$. Для однозначного восстановления этого многочлена необходимо знать его значения в $k$ точках, причем, используя меньшее число точек, однозначно восстановить исходный многочлен не получится. Количество же различных точек многочлена не ограничено (на практике оно ограничивается размером числового поля $G$, в котором ведутся расчёты).

Кратко данный алгоритм можно описать следующим образом. Пусть дано конечное поле $G$. Зафиксируем $n$ различных ненулевых несекретных элементов данного поля. Каждый из этих элементов приписывается определённому члену группы. Далее выбирается произвольный набор из $t$ элементов поля $G$, из которых составляется многочлен $f(x)$ над полем $G$ степени $t-1,1<t\leq n$. После получения многочлена вычисляем его значение в несекретных точках и сообщаем полученные результаты соответствующим членам группы.

Чтобы восстановить секрет, можно воспользоваться интерполяционной формулой, например формулой Лагранжа.

Важным достоинством схемы Шамира является то, что она легко масштабируема. Чтобы увеличить число пользователей в группе, необходимо лишь добавить соответствующее число несекретных элементов к уже существующим, при этом должно выполняться условие $r_{i}\neq r_{j}$ при $i\neq j$. В то же время, компрометация одной части секрета переводит схему из $(n,t)$-пороговой в $(n-1,t-1)$-пороговую.

Схема Блэкли

Основная статья: Векторная схема разделения секрета

Две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной точке. Любые две некомпланарные плоскости пересекаются по одной прямой, а три некомпланарные плоскости в пространстве пересекаются тоже в одной точке. Вообще n n-мерных гиперплоскостей всегда пересекаются в одной точке. Одна из координат этой точки будет секретом. Если закодировать секрет как несколько координат точки, то уже по одной доле секрета (одной гиперплоскости) можно будет получить какую-то информацию о секрете, то есть о взаимозависимости координат точки пересечения.

Схема Блэкли в трёх измерениях: каждая доля секрета — это плоскость, а секрет — это одна из координат точки пересечения плоскостей. Двух плоскостей недостаточно для определения точки пересечения.

С помощью схемы Блэкли можно создать (t, n)-схему разделения секрета для любых t и n: для этого надо использовать размерность пространства, равную t, и каждому из n игроков дать одну гиперплоскость, проходящую через секретную точку. Тогда любые t из n гиперплоскостей будут однозначно пересекаться в секретной точке.

Схема Блэкли менее эффективна, чем схема Шамира: в схеме Шамира каждая доля такого же размера, как и секрет, а в схеме Блэкли каждая доля в t раз больше. Существуют улучшения схемы Блэкли, позволяющие повысить её эффективность.

Схемы, основанные на китайской теореме об остатках

Основные статьи: Схема Миньотта и Схема Асмута — Блума

В 1983 году Морис Миньотт, Асмут и Блум предложили две схемы разделения секрета, основанные на китайской теореме об остатках. Для некоторого числа (в схеме Миньотта это сам секрет, в схеме Асмута — Блума — некоторое производное число) вычисляются остатки от деления на последовательность чисел, которые раздаются сторонам. Благодаря ограничениям на последовательность чисел, восстановить секрет может только определённое число сторон.

Пусть количество пользователей в группе равно $n$. В схеме Миньотта выбирается некоторое множество попарно взаимно простых чисел $\{m_{1},m_{2},...,m_{n}\}$ таких, что произведение $k-1$ наибольших чисел меньше, чем произведение $k$ наименьших из этих чисел. Пусть эти произведения равны $M$ и $N$, соответственно. Число $k$ называется порогом для конструируемой схемы по множеству $\{m_{1},m_{2},...,m_{n}\}$. В качестве секрета выбирается число $S$ такое, для которого выполняется соотношение $M<S<N$. Части секрета распределяются между участниками группы следующим образом: каждому участнику выдается пара чисел $(r_{i},m_{i})$, где $r_{i}\equiv S{\pmod {m_{i}}}$.

Чтобы восстановить секрет, необходимо объединить $t\geq k$ фрагментов. В этом случае получим систему сравнений вида $x\equiv r_{i}{\pmod {m_{i}}}$, множество решений которой можно найти, используя китайскую теорему об остатках. Секретное число $S$ принадлежит этому множеству и удовлетворяет условию $S<m_{1}\cdot m_{2}\cdot ...\cdot m_{t}$. Также несложно показать, что если число фрагментов меньше $k$, то, чтобы найти секрет $S$, необходимо перебрать порядка ${\frac {N}{M}}$ целых чисел. При правильном выборе чисел $m_{i}$ такой перебор практически невозможно реализовать. К примеру, если разрядность $m_{i}$ будет от 129 до 130 бит, а $k<15$, то соотношение ${\frac {N}{M}}$ будет иметь порядок $2^{100}$.

Схема Асмута — Блума является доработанной схемой Миньотта. В отличие от схемы Миньотта, её можно построить в таком виде, чтобы она была совершенной.

Схемы, основанные на решении систем уравнений

Основная статья: Схема Карнина — Грина — Хеллмана

В 1983 году Карнин, Грин и Хеллман предложили свою схему разделения секрета, которая основывалась на невозможности решить систему с $m$ неизвестными, имея менее $m$ уравнений.

В рамках данной схемы выбираются $n+1$ $m$-мерных векторов $V_{0},V_{1},...,V_{n}$ так, чтобы любая матрица размером $m\times m$, составленная из этих векторов, имела ранг $m$. Пусть вектор $U$ имеет размерность $m$.

Секретом в схеме является матричное произведение $U^{T}V_{0}$. Долями секрета являются произведения $U^{T}V_{i},1\leq i\leq n$.

Имея любые $m$ долей, можно составить систему линейных уравнений размерности $m\times m$, неизвестными в которой являются коэффициенты $U$. Решив данную систему, можно найти $U$, а имея $U$, можно найти секрет. При этом система уравнений не имеет решения в случае, если долей меньше, чем $m$.

Способы обмана пороговой схемы

Существуют несколько способов нарушить протокол работы пороговой схемы:

• владелец одной из долей может помешать восстановлению общего секрета, отдав в нужный момент неверную (случайную) долю.
• злоумышленник, не имея доли, может присутствовать при восстановлении секрета. Дождавшись оглашения нужного числа долей, он быстро восстанавливает секрет самостоятельно и генерирует ещё одну долю, после чего предъявляет её остальным участникам. В результате он получает доступ к секрету и остаётся непойманным.

Также существуют другие возможности нарушения работы, не связанные с особенностями реализации схемы:

• злоумышленник может сымитировать ситуацию, при которой необходимо раскрытие секрета, тем самым выведав доли участников.

См. также

• Проверяемое разделение секрета
• Схемы разделения секрета для произвольных структур доступа

Литература

• Шнайер Б. 3.7. Разделение секрета // Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — С. 93—96. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4.
• Шнайер Б. 23.2 Алгоритмы разделения секрета // Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — С. 588—591. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4.

• Blakley G. R. Safeguarding cryptographic keys (англ.) // Proceedings of the 1979 AFIPS National Computer Conference — Montvale: AFIPS Press, 1979. — P. 313—317. — doi:10.1109/AFIPS.1979.98
• Shamir A. How to share a secret (англ.) // Communications of the ACM — New York City: Association for Computing Machinery, 1979. — Vol. 22, Iss. 11. — P. 612—613. — ISSN 0001-0782 — doi:10.1145/359168.359176
• Mignotte M. How to Share a Secret (англ.) // Cryptography: Proceedings of the Workshop on Cryptography Burg Feuerstein, Germany, March 29–April 2, 1982 / T. Beth — Berlin, Heidelberg, New York City, London: Springer Berlin Heidelberg, 1983. — P. 371—375. — (Lecture Notes in Computer Science; Vol. 149) — ISBN 978-3-540-11993-7 — ISSN 0302-9743; 1611-3349 — doi:10.1007/3-540-39466-4_27
• Asmuth C., Bloom J. A modular approach to key safeguarding (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1983. — Vol. 29, Iss. 2. — P. 208—210. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1983.1056651
• Karnin E. D., Greene J. W., Hellman M. E. On Secret Sharing Systems (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1983. — Vol. 29, Iss. 1. — P. 35—41. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1983.1056621
• Блэкли Д., Кабатянский Г. А. Обобщенные идеальные схемы, разделяющие секрет, и матроиды // Теория информации и теория кодирования — 1997. — Т. 33, вып. 3. — С. 102—110.
• Schoenmakers B. A Simple Publicly Verifiable Secret Sharing Scheme and Its Application to Electronic Voting (англ.) // Advances in Cryptology — CRYPTO’ 99: 19th Annual International Cryptology Conference Santa Barbara, California, USA, August 15–19, 1999 Proceedings / M. Wiener — Springer Berlin Heidelberg, 1999. — P. 148—164. — ISBN 978-3-540-66347-8 — doi:10.1007/3-540-48405-1_10
• Алферов А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы криптографии: Учебное пособие — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Гелиос АРВ, 2002. — ISBN 978-5-85438-137-6
• Молдовян Н. А., Молдовян А. А. Введение в криптосистемы с открытым ключом — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 288 с. — (учебное пособие) — ISBN 978-5-94157-563-3
• Pasailă D., Alexa V., Iftene S. Cheating Detection and Cheater Identification in CRT-based Secret Sharing Schemes (англ.) // International Journal of Computing — 2010. — Vol. 9, Iss. 2. — P. 107—117. — ISSN 2312-5381; 1727-6209
• Шенец Н. Н. Об идеальных модулярных схемах разделения секрета в кольцах многочленов от нескольких переменных // Международный конгресс по информатике: информационные системы и технологии: материалы международного научного конгресса 31 окт. — Минск: БГУ, 2011. — Т. 1. Статьи факультета прикладной математики и информатики. — С. 169—173. — ISBN 978-985-518-563-6