Степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},$

в котором коэффициенты ${a_{n}}$ берутся из некоторого кольца ${R}$.

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из ${R}$ обозначается $R[[X]]$. Пространство $R[[X]]$ имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом ${R}$ (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ${R}$). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В $R[[X]]$ определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.$

Тогда:

$H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}$

$H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}$

$H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}$ (при этом необходимо, чтобы соблюдалось $b_{0}=0$)

$H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}$

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной ${X}$ какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ сходится в точке ${x_{0}}$. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге ${|x|<|x_{0}|}$ и равномерно по ${x}$ на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при ${x=x_{0}}$, он расходится при всех ${x}$ таких, что ${|x|>|x_{0}|}$. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга ${R}$ (возможно, нулевой или бесконечный), что при ${|x|<R}$ ряд сходится абсолютно (и равномерно по $x$ на компактных подмножествах круга ${|x|<R}$), а при ${|x|>R}$ — расходится. Это значение $R$ называется радиусом сходимости ряда, а круг ${|x|<R}$ — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:

${1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}$

(По поводу определения верхнего предела $\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }$ см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — два степенных ряда с радиусами сходимости ${R_{F}}$ и ${R_{G}}$. Тогда

$R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}$

$R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}$

$R_{F'}\,=\,R_{F}$

Если у ряда $G(x)$ свободный член нулевой, тогда

$R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}$

Вопрос о сходимости ряда в точках границы ${|x|=R}$ круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера: Если при $n>N$ и $\alpha >1$ выполнено неравенство

$\left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)$

тогда степенной ряд $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ сходится во всех точках окружности ${|x|=R}$ абсолютно и равномерно по $x$.

• Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ положительны и последовательность $a_{n}$ монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности ${|x|=1}$, кроме, быть может, точки ${x=1}$.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра $x$ является предметом изучения теории аналитических функций.

См.также

• Круг сходимости
• Теорема Адамара о степенном ряде

Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}$

или, в мультииндексных обозначениях,

$F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },$

где $X$ — это вектор $X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$, $\alpha$ — мультииндекс $\alpha =(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})$, $X^{\alpha }$ — одночлен $X^{\alpha }=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}$. Пространство степенных рядов от $n$ переменных и коэффициентами из $R$ обозначается $R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]$. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и $n$-местной суперпозиции. Пусть

$F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },G(X)=\sum \limits _{\alpha }b_{\alpha }X^{\alpha },H(X)=\sum \limits _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }.$

Тогда:

$H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=a_{\alpha }+b_{\alpha }$

$H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=\sum \limits _{\beta +\gamma =\alpha }a_{\beta }b_{\gamma }$

$H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}=(k_{i}+1)a_{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}+1,\dots ,k_{n})}$

См.также

• Ряд Пюизё
• Теорема Харди — Литтлвуда