Четырёхполюсник

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения

Схема четырёхполюсника

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U₁, I₁) и выходной (U₂, I₂) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой

${\begin{cases}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{1}\\\end{cases}};~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметров

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсника:

• A-форма U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенные или комплексные параметры.
• Y-форма I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂, где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ — Y-параметры, или параметры проводимостей.
• Z-форма U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂, где Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂ — Z-параметры, или параметры сопротивлений.
• H-форма U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂=h₂₁I₁+h₂₂U₂, где h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂ — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторами.
• G-форма I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂; U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂, где G — это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
• B-форма U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁; I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров

Тип	Система уравнений	Эквивалентная схема	Измерение параметров
$G$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$		$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$ $g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$
$H$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$		$h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$ $h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$
$Y$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$		$y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$ $y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$
$Z$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$		$z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$ $z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$
$A$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$		$a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}$ $a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}$
$B$	${\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$		$b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}$ $b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}$

Преобразование параметров

Принцип преобразования

В качестве примера преобразуем h-параметры четырёхполюсника в y-параметры. Для этого нужно осуществить следующее преобразование системы уравнений:

${\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}\to ~~~{\begin{cases}I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2}\\I_{2}=y_{21}U_{1}+y_{22}U_{2}\end{cases}}.$

Из первого уравнения исходной системы выразим I₁:

${\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.$

Первое уравнение подставим во второе:

${\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}=h_{21}\left({\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\right)+h_{22}U_{2}\end{cases}}.$

Преобразуем второе уравнение:

$I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+\left(h_{22}-{\frac {h_{12}h_{21}}{h_{11}}}\right)U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}}{h_{11}}}U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2},$

где $\Delta _{h}=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}.$

Получаем систему уравнений

${\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\\I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2}\end{cases}}.$

Сравнивая её с целевой системой, получаем выражения для коэффициентов:

$y_{11}={\frac {1}{h_{11}}};~~~y_{12}=-{\frac {h_{12}}{h_{11}}};~~~y_{21}={\frac {h_{21}}{h_{11}}};~~~y_{22}={\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}};$

Определитель новой системы находим простой подстановкой:

$\Delta _{y}=y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21}={\frac {1}{h_{11}}}{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}+{\frac {h_{12}}{h_{11}}}{\frac {h_{21}}{h_{11}}}={\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h_{11}^{2}}}={\frac {h_{22}}{h_{11}}}.$

	$H$	$Y$	$Z$	$G$	$A$
$H$		$h_{11}=1/y_{11}$ $h_{12}=-y_{12}/y_{11}$ $h_{21}=y_{21}/y_{11}$ $h_{22}=\Delta _{y}/y_{11}$ $\Delta _{h}=y_{22}/y_{11}$	$h_{11}=\Delta _{z}/z_{22}$ $h_{12}=z_{12}/z_{22}$ $h_{21}=-z_{21}/z_{22}$ $h_{22}=1/z_{22}$ $\Delta _{h}=z_{11}/z_{22}$	$h_{11}=g_{22}/\Delta _{g}$ $h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g}$ $h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g}$ $h_{22}=g_{11}/\Delta _{g}$ $\Delta _{h}=1/\Delta _{g}$	$h_{11}=B/D$ $h_{12}=\Delta _{A}/D$ $h_{21}=-1/D$ $h_{22}=C/D$
$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$ $y_{12}=-h_{12}/h_{11}$ $y_{21}=h_{21}/h_{11}$ $y_{22}=\Delta _{h}/h_{11}$ $\Delta _{y}=h_{22}/h_{11}$		$y_{11}=z_{22}/\Delta _{z}$ $y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z}$ $y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z}$ $y_{22}=z_{11}/\Delta _{z}$ $\Delta _{y}=1/\Delta _{z}$	$y_{11}=\Delta _{g}/g_{22}$ $y_{12}=g_{12}/g_{22}$ $y_{21}=-g_{21}/g_{22}$ $y_{22}=1/g_{22}$ $\Delta _{y}=g_{11}/g_{22}$	$y_{11}=D/B$ $y_{12}=-\Delta _{A}/B$ $y_{21}=-1/B$ $y_{22}=A/B$
$Z$	$z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}$ $z_{12}=h_{12}/h_{22}$ $z_{21}=-h_{21}/h_{22}$ $z_{22}=1/h_{22}$ $\Delta _{z}=h_{11}/h_{22}$	$z_{11}=y_{22}/\Delta _{y}$ $z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y}$ $z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y}$ $z_{22}=y_{11}/\Delta _{y}$ $\Delta _{z}=1/\Delta _{y}$		$z_{11}=1/g_{11}$ $z_{12}=-g_{12}/g_{11}$ $z_{21}=g_{21}/g_{11}$ $z_{22}=\Delta _{g}/g_{11}$ $\Delta _{z}=g_{22}/g_{11}$	$z_{11}=A/C$ $z_{12}=\Delta _{A}/C$ $z_{21}=1/C$ $z_{22}=D/C$
$G$	$g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}$ $g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}$ $g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}$ $g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}$ $\Delta _{g}=1/\Delta _{h}$	$g_{11}=\Delta _{y}/y_{22}$ $g_{12}=y_{12}/y_{22}$ $g_{21}=-y_{21}/y_{22}$ $g_{22}=1/y_{22}$ $\Delta _{g}=y_{11}/y_{22}$	$g_{11}=1/z_{11}$ $g_{12}=-z_{12}/z_{11}$ $g_{21}=z_{21}/z_{11}$ $g_{22}=\Delta _{z}/z_{11}$ $\Delta _{g}=z_{22}/z_{11}$		$g_{11}=C/A$ $g_{12}=-\Delta _{A}/A$ $g_{21}=\Delta _{A}/A$ $g_{22}=B/A$
$A$	$A=-\Delta _{h}/h_{21}$ $B=-h_{11}/h_{21}$ $C=-h_{22}/h_{21}$ $D=-1/h_{21}$	$A=-y_{22}/y_{21}$ $B=-1/y_{21}$ $C=-\Delta _{y}/y_{21}$ $D=-y_{11}/y_{21}$	$A=z_{11}/z_{21}$ $B=\Delta _{z}/z_{21}$ $C=1/z_{21}$ $D=z_{22}/z_{21}$	$A=1/g_{21}$ $B=g_{22}/g_{21}$ $C=g_{11}/g_{21}$ $D=\Delta _{g}/g_{21}$

Преобразования схем

R_in, R_out — входное и выходное сопротивления; K_I, K_U — коэффициенты усиления по току и напряжению.

$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{out}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.$

Схема	$H$	$Y$	$Z$	$G$
	$R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R}}$ $R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r}}$ $K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}$ $K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta _{h}R}}$	$R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r}}$ $K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R}}$	$R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R}}$ $R_{out}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r}}$ $K_{I}={\frac {-z_{21}}{z_{22}+R}}$ $K_{U}={\frac {z_{21}R}{-\Delta _{z}+z_{11}R}}$	$R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta _{g}r}{1+g_{11}r}}$ $K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $K_{U}={\frac {g_{21}R}{g_{22}+R}}$

Принцип вычисления параметров схемы

В качестве примера найдем входное/выходное сопротивление и коэффициенты усиления по току и напряжению для четырёхполюсника, описанного h-параметрами.

• Входное сопротивление

$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};$

Ненагруженный четырёхполюсник описывается системой

${\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.$

При подключении нагрузки

$U_{2}=-I_{2}R.$

Преобразуем систему уравнений

${\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}-h_{12}I_{2}R\\I_{2}=h_{21}I_{1}-h_{22}I_{2}R\end{cases}};\qquad {\begin{cases}I_{2}h_{12}R=h_{11}I_{1}-U_{1}\\I_{2}(1+h_{22}R)=h_{21}I_{1}\end{cases}};$

$(h_{11}I_{1}-U_{1})(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;$

$h_{11}I_{1}(1+h_{22}R)-U_{1}(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;$

$U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R];$

$U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R);$

$U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+\Delta _{h}R);$

$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R}}.$

Разновидности четырёхполюсников

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников

Идеальный трансформатор

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):

${\begin{cases}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$

Гиратор

Основная статья: Гиратор

Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивления). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:

${\begin{cases}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

$Z_{out}={\frac {1}{-Z_{in}y_{21}^{2}}}$

Нуллор

Основная статья: Нуллор

Нуллор  — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значения. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

См. также

Двухполюсник

Литература

• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.
• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996. — 638 с.
• Кисель В.А. Аналоговые и цифровые корректоры. — М.: Радио и связь, 1986. — 184 с.
• Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989. — 528 с. — ISBN 5-256-00265-1.