Числа Лейланда

Числа Лейланда — это натуральные числа, представимые в виде x^y + y^x, где x и y — целые числа больше 1. Иногда 3 также относят к числам Лейланда.

Первые несколько чисел Лейланда:

3, 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649, 2169, 2530, 4240, 5392, …

Требование, что x и y должны быть больше чем 1, имеет ключевое значение, поскольку без него каждое натуральное число будет представимо в виде x¹ + 1^x. Кроме того, благодаря коммутативности сложения, обычно добавляют условие x ≥ y, чтобы избежать двойного покрытия чисел Лейланда. Таким образом область определения x и y определяется неравенством 1 < y ≤ x.

Простые числа Лейланда

Первые несколько простых чисел Лейланда:

17 = 3² + 2³,

593 = 9² + 2⁹,

32 993 = 15² + 2¹⁵,

2 097 593 = 21² + 2²¹,

8 589 935 681 = 33² + 2³³,

59 604 644 783 353 250 = 24⁵ + 5²⁴, …

На июнь 2008 года, крупнейшим известным простым числом Лейланда являлось число

2638⁴⁴⁰⁵ + 4405²⁶³⁸

с 15 071 цифрой, простота которого была доказана в 2004 году с помощью алгоритма fastECPP.

После этого были найдены ещё большие простые числа Лейланда, например, 5122⁶⁷⁵³ + 6753⁵¹²² (25050 десятичных знаков). В декабре 2012 года было доказано, что числа 3110⁶³ + 63³¹¹⁰ (5596 десятичных знаков) и 8656²⁹²⁹ + 2929⁸⁶⁵⁶ (30008 десятичных знаков) также являются простыми. Последнее из этих чисел содержит рекордное число десятичных знаков на настоящий момент. Существуют кандидаты в простые, например, 314738⁹ + 9³¹⁴⁷³⁸, однако их простота пока не доказана.

Применение

Числа вида $x^{y}+y^{x}$ оказались удачными тестовыми примерами для универсальных алгоритмов разложения на множители из-за своего простого алгебраического описания и отсутствия очевидных свойств, которые бы позволили применить какой-либо специальный алгоритм факторизации.

Литература

• Richard Crandall, Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer Science & Business Media, 2005. — 597 p. — ISBN 0-387-25282-7. — ISBN 978-0-387-25282-7.