Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: $F(t)=F_{0}\cos \left(\Omega t\right)$.

Вынужденные колебания гармонического осциллятора

Консервативный гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: $ma=-kx+F_{0}\cos \left(\Omega t\right)$. Если ввести обозначения: $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}},\quad \Phi _{0}={\frac {F_{0}}{m}}$ и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos(\Omega t)$

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

$x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)$,

где $A,\varphi$ — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: $x(t)=B\cos \left(\Omega t\right)$ и получим значение для константы:

$B={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}$

Тогда окончательное решение запишется в виде:

$x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)$

Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: $x(t)=t\left(A\cos \left(\Omega t\right)+B\sin \left(\Omega t\right)\right)$. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что

$A=0\qquad B={\frac {\Phi _{0}}{2\Omega }}$

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

$x(t)={\frac {\Phi _{0}}{2\Omega }}t\sin \left(\Omega t\right)$

Затухающий гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона:

$ma=-kx-\alpha v+F_{0}\cos \left(\Omega t\right)$.

Переобозначения:

$\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}},\qquad \Phi _{0}={\frac {F_{0}}{m}},\qquad \zeta ={\frac {\alpha }{2{\sqrt {km}}}}$

Дифференциальное уравнение:

${\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left(\Omega t\right)$

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: $\Phi _{0}\cos \Omega t=\Phi _{0}Re\,e^{-i\Omega t}$, тогда решение будем искать в виде: $x(t)=Ae^{-i\Omega t}$, где $A\in \mathbb {C}$. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для $A$:

$A={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}-2i\zeta \Omega \omega _{0}}}={\frac {\Phi _{0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \omega _{0}\right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}=|A|e^{-i\varphi }$

где $|A|={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}},\qquad \varphi =-\arctan {\frac {2\zeta \Omega \omega _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}$

Полное решение имеет вид:

$x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t))+Re\left[{\frac {\Phi _{0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \omega _{0}\right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}e^{-i\Omega t}\right]$,

где $\omega _{\mathrm {d} }=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_{1}$ и $c_{2}$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $\left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&x_{0}\\{\dot {x}}(0)&=&v_{0}\end{array}}\right.$

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при $t\,\to \,\infty$, то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

$x(t\to \infty )=\Phi _{0}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)\cos {\Omega t}+2\zeta \Omega \sin {\Omega t}}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}}}={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}+4\zeta ^{2}\omega _{0}^{2}\Omega ^{2}}}}\cos(\Omega t-\varphi )$

Это означает, что при $t\,\to \,\infty$ система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой $F(t)=F_{0}\cos \left(\Omega t\right)$ за время $dt\$, равна $Fdx\$, а мощность $P=F{\frac {dx}{dt}}$. Из уравнения

${\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left(\Omega t\right)$

следует, что

$P(t)=F{\dot {x}}=({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x)m{\dot {x}}$

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

$x\,=A\,\cos(\Omega t-\varphi )$

${\dot {x}}=-A\Omega \sin(\Omega t-\varphi )$

${\ddot {x}}=-A\Omega ^{2}\cos(\Omega t-\varphi )$

то тогда средняя за период $T={\frac {2\pi }{\Omega }}$ мощность:

$P={\frac {m}{T}}\int _{0}^{T}({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x){\dot {x}}dt=A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega ^{2}$

Работа за период

$W=m\int _{0}^{T}({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x){\dot {x}}dt=A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega ^{2}T=2\pi A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega$

Литература

• Бутиков Е.И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие  (неопр.). Архивировано 11 марта 2012 года.
• Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.

См. также

• Гармонический осциллятор
• Затухающие колебания