Гомотопия

Гомотопия

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений $F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$, непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение $F\colon [0,1]\times X\to Y$.

Связанные определения

• Отображения $f,g\colon X\to Y$ называются гомотопными ($g\sim f$), если существует гомотопия $f_{t}$ такая, что $f_{0}=f$ и $f_{1}=g$.
  • Это задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями $X\to Y$.

• Гомотопическая эквивалентность топологических пространств $X$ и $Y$ — пара непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to X$ такая, что $f\circ g\sim \operatorname {id} _{Y}$ и $g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}$, здесь $\sim$ обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что $X$ с $Y$ имеют один гомотопический тип.
  • Если $X$ и $Y$ гомеоморфны ($X\simeq Y$), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.
  • Гомотопический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.

• Если на некотором подмножестве $A\subset X,\;F(t,a)=f(a)$ для всех $t$ при $a\in A$, то $F$ называется гомотопией относительно $A$, а $f$ и $g$ гомотопными относительно $A$.

• Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют стягиваемым или гомотопным нулю.

Вариации и обобщения

• Изотопия — гомотопия топологического пространства $X$ по топологическому пространству $Y$ $f_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$, в которой при любом $t$ отображение $f_{t}$ является гомеоморфизмом $X$ на $f_{t}(X)\subset Y$.

• Отображение $f\colon X\to Y$ называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Подпространство $A$ топологического пространства $X$ такое, что включение $A\subset X$ является слабой гомотопической эквивалентностью, называется репрезентативным подпространством.

• Если $\varphi :E\to X$ и $\varphi ':E'\to X$ есть произвольные расслоения над $X,$ то гомотопия $f_{t}:E\to E'$ называется послойной, если $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ Морфизмы $f,g:E\to E'$ послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия $f_{t}:E\to E',$ для которой выполняются равенства $f_{0}=f$ и $f_{1}=g.$ Морфизм $f:E\to E'$ — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм $g:E'\to E$ такой, что $gf$ и $fg$ послойно гомотопны $\mathrm {Id} .$ Расслоения $E$ и $E'$ принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность $f:E\to E'.$

См. также

• Гомотопические группы
• Фундаментальная группа
• Цепная гомотопия

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971