Инверсия (геометрия)

Не следует путать с центральная симметрия.

Кардиоида — инверсия параболы

Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение

Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность $\Gamma$ с центром $O$ (называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом $R$. Инверсия точки $P$ относительно $\Gamma$ есть точка $P'$, лежащая на луче $OP$ такая, что

$|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.$

Замечания

• Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.

• Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» $\infty$ и считают её инверсным образом $O$, а $O$ — инверсным образом $\infty$. В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

• Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства

Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности $\Gamma$ с центром O обладает следующими основными свойствами:

• Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
• Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
• Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
• Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).

$d_{1}/d_{2}={\text{const}}$

• Инверсия относительно окружности Аполлония, определяемой равенством $k={\tfrac {PA}{PB}}$, меняет местами точки $A$ и $B$.
• Окружность или прямая, перпендикулярная к $\Gamma$, переходит в себя.
• Для того, чтобы точки $z$ и $z*$ были симметричными относительно окружности $\Gamma$, необходимо и достаточно, чтобы любая окружность на расширенной комплексной плоскости, через них проходящая, была ортогональна $\Gamma$

• Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утверждения:
  • инверсия кривой есть антиподера этой кривой с последующим полярным преобразованием кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры;
  • инверсия кривой есть подера полярного преобразования этой кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Замечания

• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
• В теории окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности $\Gamma$, если она проходит через центр последней.

Построение

Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом:

• Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

$(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой $z=x+iy$, то это выражение можно представить в виде

$z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}$,

где ${\bar {z}}$ — комплексно сопряжённое число для $z$. Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке $O=(x_{0},y_{0})$ и радиусом $r$ задаётся соотношением

$(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)$.

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса $r$ с центром в начале координат задаётся соотношением

$(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )$.

Приложения

• Применением инверсии решаются
  • задача Аполлония,
  • тождество Птолемея.

• На свойствах инверсии основан механизм Липкина — Посселье.

• Применением инверсии доказывается теорема Мора — Маскерони, которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)

• Существует доказательство свойств окружности Аполлония, основанное на свойстве инверсии.

• При помощи инверсии доказывается поризм Штейнера: в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.

• При помощи инверсии доказывается то, что равны две архимедовы окружности-близнецы в арбелосе.

• При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в поризме Паппа Александрийского.

• При помощи инверсии доказывается Теорема о бабочке.

Вариации и обобщения

Инверсия относительно конического сечения

Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина $R$ будет (переменным) расстоянием от центра $O$ соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой $OP$.

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка $P$ между асимптотами, возможен случай, когда прямая $OP$ не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления $R$ берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка $P$ не лежит на асимптоте), а соответствующая величина $R^{2}$ берётся со знаком минус, то есть луч $OP'$ направляется в сторону, противоположную лучу $OP$.

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения ${\mathcal {K}}$ как середина хорды, высекаемой полярой точки $P$ относительно ${\mathcal {K}}$ на ${\mathcal {K}}$. Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает ${\mathcal {K}}$, для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону (то есть $P'$ — это такая точка, что $P$ является серединой хорды, высекаемой полярой $P'$ на ${\mathcal {K}}$), что не всегда удобно.

См. также

• Инверсная геометрия
• Инверсия кривой

Ссылки

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
• Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М.: МЦНМО, 2009.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М.: МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.