Цепное правило или правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.
Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке .
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:
Дифференциал функции в точке имеет вид:
где — дифференциал тождественного отображения :
Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где
Дифференцируя эти функции отдельно:
получаем
Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
- .
В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций и
- Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
Для частных производных сложной функции справедливо
Пусть дана функция трёх переменных и требуется найти её частную производную по переменной . Функция может быть записана как где
Тогда частная производная функции по переменной будет иметь следующий вид:
Вычисляем производные:
Подставляем найденные производные:
В итоге