Выборочная функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение

[править | править код]

Пусть  — выборка объёма , порождённая случайной величиной , задаваемой функцией распределения . Будем считать, что , где , — независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов . Пусть . Определим функцию следующим образом:

,

где  — индикатор события ,  — функция Хевисайда. Таким образом, значение функции в точке равно относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение . Функция называется выборочной функцией распределения случайной величины , или эмпирической функцией выборки, и является аппроксимацией для функции . Существует теорема Колмогорова, утверждающая, что при функция равномерно сходится к , и указывающая скорость сходимости. Для каждого положительного , — случайная величина со значением .

Основные свойства

[править | править код]
,

где , а  — количество элементов выборки, равных . В частности, если все элементы выборки различны, то .

Математическое ожидание этого распределения имеет вид:

.

Таким образом, выборочное среднее — это теоретическое среднее выборочного распределения. Аналогично, выборочная дисперсия — это теоретическая дисперсия выборочного распределения.

.
  • Выборочная функция распределения является несмещённой оценкой функции распределения :
.
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
.
почти наверное при .
по распределению при .