Возведение в степень

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a и натуральным показателем b обозначается как

,

при этом  — это количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.

Натуральная степень[править | править код]

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

  1. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. ниже);
  2. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень[править | править код]

Результат не определён при и .

Рациональная степень[править | править код]

По определению,

Результат не определён при и .

Для отрицательных в случае нечётного и чётного в результате вычисления степени получаются комплексные числа. См. подробнее Корень (математика).

Вещественная степень[править | править код]

Пусть  — вещественные числа, причём  — иррациональное число. Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для рациональный интервал с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов состоит из одной точки, которая и принимается за .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. определение комплексной степени).

Потенцирование[править | править код]

Потенцирование (от нем. potenzieren — возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, «потенцирование» означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).

Комплексная степень[править | править код]

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив в экспоненциальной форме и используя тождество , где  — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Ноль в степени ноль[править | править код]

Неопределённость или единица?[править | править код]

Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла[1]. Связано это с тем, что функция двух переменных в точке имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси где она равна единице, а вдоль положительного направления оси где она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении не может дать непрерывную в нуле функцию.

Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В пользу последнего варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:

можно записать короче, если принять :

(наше соглашение используется при ).

Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:

,

и тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.

Другое обоснование соглашения опирается на «Теорию множеств» Бурбаки[2]: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно при получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение не используется.

Следует иметь в виду, что соглашение чисто символическое, создающее опасные риски при некомпетентном применении, и его ни в коем случае нельзя использовать ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях. Пример для анализа: выражение

где — произвольное положительное вещественное число.

При мы получаем предел типа и неопытный пользователь, принявший соглашение может ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.

История различных точек зрения[править | править код]

Дискуссия по поводу определения продолжается, по крайней мере, с начала XIX века. Многие математики тогда принимали это соглашение, но в 1821 году Коши[3] причислил к неопределённостям, таким, как В 1830-х годах Либри[4][5] опубликовал неубедительный аргумент в пользу , и Мёбиус[6] встал на его сторону, ошибочно заявив, что всякий раз, когда . Обозреватель, который подписал свое имя просто как «S», предоставил контрпример , и это немного успокоило дебаты. Больше исторических деталей можно найти в книге Кнута (1992)[7].

Более поздние авторы интерпретируют ситуацию выше по-разному. Некоторые утверждают, что наилучшее значение для зависит от контекста, и поэтому определение его раз и навсегда проблематично[8] Согласно Бенсону (1999), «Выбор, следует ли определять основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения , то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. […] Консенсус заключается в использовании определения , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения »[9].

Часть зарубежных математиков считает, что должен быть определён как 1. Например, Кнут (1992) уверенно утверждает, что «должно быть 1», делая различие между значением , которое должно равняться 1, как это было предложено Либри, и предельной формой (аббревиатура для предела где ), что обязательно является неопределенностью, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина на их стороне»[7].

Авторитетный сайт Wolfram Math World, приведя мнение Кнута, всё же констатирует, что обычно значение считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение позволяет в некоторых случаях упростить запись формул[10]. В России Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники характеризуют как недопустимое выражение (неопределённость).

В компьютерах[править | править код]

Стандарт IEEE 754-2008, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой, определяет три функции возведения в степень[11]:

  • Функция для возведения в целую степень: . Согласно стандарту, для любого , в том числе, когда равен нулю, NaN или бесконечности.
  • Функция для возведения в произвольную степень: (по сути равная ). Согласно стандарту, вызывает ошибку.
  • Функция для возведения в произвольную степень, которая особо определена для целых чисел: . Согласно стандарту, для всех также как и .

Во многих языках программирования ноль в нулевой степени равен 1. Так например, в C++: pow(0,0)==1, в языке Хаскель это верно для всех трех стандартных операций возведения в степень: 0^0==1, 0^^0=1, 0**0=1.

Степень как функция[править | править код]

Поскольку в выражении используются два символа ( и ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

  • функцию переменной (при этом  — параметр). Такая функция называется степенной (частный случай полиномиальной функции);
  • функцию переменной (при этом  — параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента);
  • функцию двух переменных.

Полезные формулы[править | править код]

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции .

Употребление в устной речи[править | править код]

Запись обычно читается как «a в -ой степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.). В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[12].

В разговорной речи иногда говорят, например, что  — это «a умноженное само на себя три раза»[13], имея в виду, что берётся три множителя . Это не совсем точно, и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но две операции умножения). Часто когда говорят, «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть [14]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»[15].

Обозначение[править | править код]

История[править | править код]

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, изображалось как Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно[16]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида .

Значок степени[править | править код]

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

Во многих языках программирования (например, в Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень и для этой цели используют функции.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
  2. N. Bourbaki. Theory of Sets // Elements of Mathematics, Springer-Verlag, 2004, III.§ 3.5.
  3. Augustin-Louis Cauchy, Cours d’Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
  4. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  5. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316.
  6. A. F. Möbius (1834). «Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff». Journal für die reine und angewandte Mathematik 12: 134–136.
  7. 1 2 Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO]).
  8. Examples include Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.
  9. Donald C. Benson, The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies. New York Oxford University Press (UK), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9
  10. Weisstein, Eric W. Power. WolframMathWorld. Проверено 10 февраля 2018.
  11. IEEE Computer Society (August 29, 2008). «IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic §9.2.1» (IEEE). DOI:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. IEEE Std 754-2008.
  12. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165-167. — 456 с.
  13. Морган Джонс. Ламповые усилители. — Litres, 2014-01-16. — С. 29. — 762 с. — ISBN 9785457531772.
  14. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с.
  15. Румовский С. Я. Сокращения математики. — Directmedia, 2014. — С. 80. — ISBN 978-5-4458-1644-7.
  16. Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
Комментарии
  1. Для целой степени.
  2. Для неотрицательной целой степени.
  3. Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение.
  4. Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности).
  5. Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
  6. Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
  7. В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x,y).
  8. Для рациональных степеней.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]