Эта статья является кандидатом в избранные

Комплексное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иерархия чисел

Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (от лат. complex — совокупный, тесно связанный[2]) — числа вида , где  — вещественные числа,  — мнимая единица[3], то есть число, для которого выполняется равенство: Термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[2]. Множество комплексных чисел обычно обозначается символом  оно содержит множество вещественных чисел и может рассматриваться как его расширение. Доказано[⇨], что система комплексных чисел непротиворечива.

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения[⇨], вычитания, умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция зеркального отражения[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[4]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨].

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники — обработка сигналов, теория управления, электромагнетизм, теория колебаний, теория упругости и многие другие[5][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается в основном на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на комплексный анализ.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел, таких, как кватернионы[⇨].

Содержание

Комплексная арифметика[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Всякое комплексное число состоит из двух компонент[6]:

  • Величина называется вещественной частью числа и обозначается или В зарубежных источниках встречается готический символ[7]:
    • Если , то называется мнимым или чисто мнимым числом.
  • Величина называется мнимой частью числа и обозначается или В зарубежных источниках встречается готический символ[8]:
    • Если , то является вещественным числом. Вместо обычно пишут просто Например, комплексный нуль обозначается просто как

Противоположным для комплексного числа называется число Например, для числа противоположным будет число

Арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно так расширить на комплексные числа порядок, заданный для вещественных чисел, чтобы арифметические операции и порядок были согласованы (например, чтобы из вытекало ). Можно сравнивать комплексные числа только на «равно или не равно»[6]:

  • означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Сложение и вычитание[править | править код]

Определение сложения и вычитания комплексных чисел[6]:

.
.

Следующая таблица[6] показывает основные свойства сложения для любых комплексных .

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство нуля
Свойство противоположного элемента
Выполнение вычитания через сложение

Умножение[править | править код]

Определим произведение[6] комплексных чисел и :

.

Следующая таблица[6] показывает основные свойства умножения для любых комплексных .

Свойство Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство единицы
Свойство нуля
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения

Деление[править | править код]

Для каждого комплексного числа , кроме нуля, существует обратное к нему комплексное число такое, что произведение этих двух чисел равно единице[9]:

Определим результат деления[6] комплексного числа на (ненулевое) :

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции[править | править код]

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных[править | править код]

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше. Другое отличие: любой многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, с учётом кратности, столько корней (вообще говоря, комплексных), какова его степень (основная теорема алгебры)[10].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень -й степени из ненулевого числа имеет различных комплексных значений[11]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного[⇨]..

Замечания[править | править код]

Заметим, что число не является единственным числом, удовлетворяющим уравнению . Число также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как арифметический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Во избежание ошибок, выражение с корнями отрицательных величин в настоящее время принято записывать как , а не , несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым[12].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

Геометрическое представление[править | править код]

Комплексная плоскость[править | править код]

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями[13].

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. следующий раздел.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа[14]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»[15].

Модуль[править | править код]

Модуль и аргумент комплексного числа

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат). Модуль комплексного числа обозначается (иногда или ) и определяется выражением[14]:

.

Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля[14][16]:

1) , причём тогда и только тогда, когда ;
2) (неравенство треугольника);
3) ;
4) .
5) Для пары комплексных чисел и модуль их разности равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
6) Модуль числа связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

Аргумент[править | править код]

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется аргументом числа и обозначается . Из этого определения следует, что[14]:

.

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где  — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [17].

Некоторые свойства аргумента[16]:

1) Аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:
2) Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:
3) Аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

Сопряжённые числа[править | править код]

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (часто обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком[18]:

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства[18].

  • тогда и только тогда, когда  — вещественное число.
  • (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение комплексно-сопряженных чисел есть неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z [16]:

Сумма комплексно-сопряженных чисел есть вещественное число[16]:

Другие соотношения[16]:

Обобщение: , где  — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. Из этого следует, что если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни (с ненулевой мнимой частью), то все они разбиваются на пары комплексно-сопряжённых[16].

Пример[править | править код]

Применение свойства для произведения . Чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе, надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражению[19].

Тригонометрическая и показательная форма[править | править код]

Выше использовалась запись комплексного числа в виде ; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Практически чрезвычайно полезны ещё два варианта представления комплексного числа в полярных координатах.

Тригонометрическая форма

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (то есть , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме[14]:

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера[19]:

где  — число Эйлера,  — функции косинуса и синуса, расширенные так, чтобы допускать комплексные значения аргумента,  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа[19]:

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Формула Муавра и извлечение корней[править | править код]

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид[11]:

,

где  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формула справедлива при любом целом , не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа[19]:

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Это значит, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа, записанного в стандартном формате можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться вышеприведенной формулой для Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня: где[20]:

Здесь sgn — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением в квадрат.

Пример: для квадратного корня из формулы дают два значения:

История[править | править код]

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение — 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: и . В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»[21].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение имеет вещественный корень , однако по формулам Кардано получаем: . Бомбелли обнаружил, что , сумма которых даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел[22][21].

Выражения, представимые в виде , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных ученых XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли формальные методы алгебры вещественных величин и к комплексным и получали корректные результаты[21].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)[23].

Символ для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)[24]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)[22]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)[25].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс[26]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного.[3][27].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения[3].

Комплексные функции[править | править код]

Аналитические функции[править | править код]

Комплексная функция одной переменной — это функция , которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам этой области комплексные значения [28]. Примеры:

Каждая комплексная функция может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции , называются компонентами комплексной функции Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных[28].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала[28], например:

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль[28].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными[29].

  • Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
  • Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл не зависит от пути[30].

Преобразования комплексной плоскости[править | править код]

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

  •  — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки
  • , где  — комплексное число с единичным модулем — поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу
  •  — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции и дают общее выражение для движения на комплексной плоскости[31].

Другие линейные преобразования[31]:

  • , где  — положительное вещественное число, задаёт растяжение, масштаб которого зависит от (сжатие, если ).
  • Преобразования и , где  — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия.
  • Преобразование где  — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости.

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования[32]:

При этом (иначе функция вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые. При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот[32].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия функция Жуковского.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости[править | править код]

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например[33]:

  • Три (различные) точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:
является вещественным числом.
  • Четыре (различные) точки лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
отношение является вещественным числом.

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид[34]:

где — комплексные числа, — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми и равен В частности, прямые перпендикулярны, когда — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда есть вещественное число; если при этом также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение положительно, на другой — отрицательно[34].

Уравнение окружности с центром и радиусом имеет чрезвычайно простой вид: Неравенство описывает внутренность окружности[34].

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств[править | править код]

Множество комплексных чисел образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел . Основное алгебраическое свойство — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что есть алгебраическое замыкание[35] поля .

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями  — поле комплексных чисел и тело кватернионов[36].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем .

Поле допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте[37].

Поля и  — единственные связные локально компактные топологические поля[38].

Некоторые практические применения[править | править код]

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика[править | править код]

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы часто получаем возможность значительно упростить её решение[39][40].

Многие сложные задачи теории чисел и (вещественного) математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида где  — целые числа[41]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана[42].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд

Этот ряд сходится только в интервале , хотя точки не являются какими-то особенными для приведенной функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного , у которой обнаруживаются две особые точки: . Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге единичного радиуса[43].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент[44]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений[45]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам[46]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа[47].

Конформное отображение[править | править код]

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)[48]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии[49][50] и гидродинамике[51].

Квантовая механика[править | править код]

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты и импульса, представляет собой мнимое число: . Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения[52].

Электротехника[править | править код]

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса или комплексного сопротивления для реактивных элементов электрической цепи таких как ёмкость и индуктивность — это помогает рассчитать токи в цепи[53]. Ввиду того, что традиционно символ в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой [54]. Во многих областях (в основном радиочастотной и оптической) электротехники используются не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости и при переходе из (t, x)- в (ω, k)-пространство посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных[55].

Логические основания[править | править код]

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для комплексных чисел.

Аксиоматика комплексных чисел[править | править код]

Проще всего определить аксиоматику множества комплексных чисел , если опираться на уже построенное множество вещественных чисел (которое предполагается непротиворечивым, а свойства его — известными). Именно, определим как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и (сверх его) мнимую единицу. Более строго, аксиомы комплексных чисел следующие[56][57].

С1: Для всяких комплексных чисел определена их сумма .
С2: Сложение коммутативно: . Для краткости оговорку «для всяких » далее, как правило, опускаем.
С3: Сложение ассоциативно:
С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что .
С5: Для всякого комплексного числа существует «противоположный ему» элемент такой, что
С6: Для всяких комплексных чисел определено их произведение .
С7: Умножение коммутативно:
С8: Умножение ассоциативно:
С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом:
С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что .
С11: Для всякого ненулевого числа существует «обратное ему» число такое, что
С12: Множество комплексных чисел содержит подполе, для которого выполняются все свойства поля вещественных чисел . Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой .
С13: Существует элемент (мнимая единица) такой, что
С14 (аксиома минимальности): Пусть  — подмножество , удовлетворяющее следующим условиям: оно содержит и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда совпадает со всем .

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Приведенная аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны как поля[58]. Это не означает, что все свойства разных моделей идентичны; например, алгебраическое замыкание поля p-адических чисел изоморфно как поле, но не изоморфно как топологическое пространство[59].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств[60].

Непротиворечивость и модели[править | править код]

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел[61].

Стандартная модель[править | править код]

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара будет соответствовать комплексному числу [62]

Далее определим[61]:

  1. Пары и считаются равными, если и .
  2. Сложение: сумма пар и определяется как пара .
  3. Умножение: произведение пар и определяется как пара .

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения :

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведенному перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами , образующими подполе , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел.. Пары и соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара . Квадрат её равен , то есть  Любое комплексное число можно записать в виде

Описанная модель доказывает, что приведенная аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[61].

Матричная модель[править | править код]

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

с обычным матричным сложением и умножением[3]. Вещественной единице будет соответствовать

,

мнимой единице —

.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число является линейным оператором. В базисе линейный оператор A умножения на представляется указанной выше матрицей, так как[3]:

Модель фактор-кольца многочленов[править | править код]

Рассмотрим кольцо многочленов с вещественными коэффициентами и построим его фактор-кольцо по модулю многочлена (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен они дают одинаковые остатки. Например, многочлен будет эквивалентен константе , многочлен будет эквивалентен и т. д.[63]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен , поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида (от деления на ), который в силу сказанного можно записать как Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел[63].

Вариации и обобщения[править | править код]

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»[64].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют[64].

Примечания[править | править код]

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
    • Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: «ко́мплексный» и «компле́ксный (матем.)».
  2. 1 2 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 211, подстрочное примечание.
  3. 1 2 3 4 5 Комплексное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 1007.
  4. Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227.
  5. Справочник по элементарной математике, 2006, с. 222.
  6. 1 2 3 4 5 6 7 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 180—181.
  7. Real Part. Проверено 16 января 2018.
  8. Imaginary Part. Проверено 16 января 2018.
  9. Ahlfors Lars V., 1979, с. 2.
  10. История математики, том III, 1972, с. 72.
  11. 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 237—239.
  12. История математики, том III, 1972, с. 61—66.
  13. Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 233—234.
  14. 1 2 3 4 5 Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 234—235, 239—240.
  15. ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.
  16. 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979, с. 6—10.
  17. Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 14—15.
  18. 1 2 Алгебра и математический анализ, 1998, с. 183—1851.
  19. 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979, с. 15—16.
  20. Ahlfors Lars V., 1979, с. 3—4.
  21. 1 2 3 Клайн Моррис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
  22. 1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 258—266. — 530 с.
  23. История математики, том III, 1972, с. 57—61.
  24. Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7. — С. 15—47.
  25. Острая О. Теория функций комплексного переменного. Проверено 30 ноября 2017.
  26. Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 233. — 297 с. — (Классики естествознания).
  27. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983. — С. 193. — 351 с.
  28. 1 2 3 4 Смирнов В. И., 2010, с. 7—15.
  29. Смирнов В. И., 2010, с. 15—22.
  30. Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 44.
  31. 1 2 Заславский А. А. Геометрические преобразования. — 2-е изд.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 58. — 86 с. — ISBN 5-94057-094-1.
  32. 1 2 Евграфов М. А., 1968, с. 180—186.
  33. Привалов И. И., 1984, с. 43.
  34. 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.
  35. Числовые системы, 1975, с. 165.
  36. Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 249—251.
  37. Числовые системы, 1975, с. 167.
  38. Топологическое поле // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 386.
  39. Комплексные числа. 9—11 классы, 2012, Глава 5.
  40. Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 78.
  41. Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 114—124.
  42. Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  43. Привалов И. И., 1984, с. 14.
  44. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.
  45. Разностное уравнение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 838.
  46. Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 5.
  47. Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, Глава 8.
  48. Смирнов В. И., 2010, с. 22—25.
  49. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. — М.: Гостехиздат, 1954. — 52 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 13).
  50. Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System. Проверено 28 января 2018.
  51. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.
  52. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
  53. Реальные применения мнимых чисел, 1988, с. 132—144.
  54. Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи». — BH V. — 608 с. — ISBN 978-5-9775-0544-4.
  55. Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
  56. Числовые системы, 1975, с. 164—165.
  57. Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 227—233.
  58. Числовые системы, 1975, с. 166.
  59. Andrei Jorza. Introduction to p -adic Galois representations overview. Проверено 14 февраля 2018.: «As fields, C isomorphic to but not as topological fields».
  60. Real and Complex Numbers. Проверено 13 февраля 2018.
  61. 1 2 3 Числовые системы, 1975, с. 167—168.
  62. Энциклопедия элементарной математики, 1951, с. 230—233.
  63. 1 2 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.
  64. 1 2 Dickson, L. E. (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 

Литература[править | править код]

  • Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
  • Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
  • Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
  • Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
  • Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

Ссылки[править | править код]