Параллелограмм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам.
    \left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Точка пересечения диагоналей является центром параллелограмма.
  • Сумма всех углов равна 360° (сумма углов многоугольника = 180°(n — 2), где n — кол-во углов).
  • Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны[1].
  • (Тождество параллелограмма) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,  d_1 и d_2  — длины диагоналей; тогда
    d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма[править | править вики-текст]

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

  1. Две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: AB = CD, AB \parallel CD.
  2. Все противоположные углы попарно равны: \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
  3. Все противоположные стороны попарно равны: AB = CD, BC=DA..
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны:  AB \parallel CD,  BC \parallel DA.
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ~AO = OC, BO = OD.
  6. Сумма соседних углов равна 180 градусов: \angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ.
  7. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
  8. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма: ~AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2
  9. Любая диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника
  10. Любой отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, параллелен паре двух других сторон
  11. Любой отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, разбивает параллелограмм на два равных параллелограмма.

Площадь параллелограмма[править | править вики-текст]

S = ah , где a — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.
S = ab\sin \alpha, где a и b — стороны, а \alpha — угол между сторонами a и b.
S = \frac12\ d_1d_2 \sin \alpha, где d_1 и d_2 — диагонали, \alpha — острый угол при их пересечении.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Следует из свойства окружности, вписанной в четырехугольник.