Абелево расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.

Например, расширение является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа и . Расширение не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена и его автоморфизмы, фиксирующие , переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелевого расширения явлюется циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени , то расширение, полученное присоединением к нему корня степени из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случая[уточнить] это утверждение не является верным.

Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.

Ссылки[править | править вики-текст]