Абсолютная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График вещественной функции
Модуль и другие характеристики комплексного числа

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .

В случае вещественного  абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:

Основные свойства[править | править вики-текст]

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа[править | править вики-текст]

  • Область определения: .
  • Область значений: .
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.

Комплексные числа[править | править вики-текст]

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Для любых вещественных чисел имеют место следующие соотношения:

  • (см. Функция sgn(x)).
  • .
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:

Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:

  • Модуль любого числа равен либо больше нуля: , причём тогда и только тогда, когда
  • Модули противоположных чисел равны:
  • Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей:
  • Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел:
  • Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:
  • (неравенство треугольника).
  • .
  • .
  • .
  • , если существует.

История[править | править вики-текст]

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования[править | править вики-текст]

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение[править | править вики-текст]

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]