Абсолютная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График вещественной функции
Модуль |z| и другие характеристики комплексного числа z

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа x (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: ~|x|.

В случае вещественного x абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

\ |x| = \begin{cases} \ \ x, & x \geqslant 0 \\ -x, & \ x < 0 \end{cases}

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа ~z=x+iy, также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:

|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}

Основные свойства[править | править вики-текст]

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ~|x_1 - x_2| означает расстояние между точками ~x_1 и ~x_2 и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа[править | править вики-текст]

Комплексные числа[править | править вики-текст]

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Для любых вещественных чисел ~a, b имеют место следующие соотношения:

  • ~\ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \} (см. Функция sgn(x)).
  •  a \leqslant |a|
  • -|a| \leqslant a .
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ~|a|^2 = a^2

Как для вещественных, так и для комплексных ~a, b имеют место соотношения:

  • Модуль любого числа равен либо больше нуля: |a| \geqslant 0, причём |a|=0 тогда и только тогда, когда ~a=0
  • Модули противоположных чисел равны: |-a| = |a|
  • Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: |ab| = |a||b|
  • Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: ~~~ \left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}
  • Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: |ab| = a|b|, a>0
  • |a+b| \leqslant |a|+|b| (неравенство треугольника).
  • |a-b| \leqslant |a|+|b|.
  • ~|a|-|b| \leqslant |a+b| .
  • ~|a \pm b| \geqslant ||a|-|b|| .
  • ~|a^k| = |a|^k, если ~a^k существует.

История[править | править вики-текст]

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования[править | править вики-текст]

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение[править | править вики-текст]

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую \|x\|. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]