Абстрактный клеточный комплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Абстрактный клеточный компле́кс — множество с топологией Александрова[en], в котором неотрицательное целое число, называемое размерностью, присвоено каждой точке. Понятие используется в цифровой топологии[en] для задач анализа двумерных и трёхмерных цифровых изображений. Комплекс называется «абстрактным» потому, что его точки, называемые «клетками», не являются подмножествами хаусдорфова пространства, как это требуется для клеточных комплексов, применяемых в алгебраической топологии и теории гомотопий.

История[править | править вики-текст]

Сходные конструкции с подобным уровнем общности рассматривались Листингом (1862)[1], Стейницем (1908)[2], Такером[en] (1933)[3], Рейдемейстером (1938)[4].

Стейниц определил абстрактный клеточный комплекс как тройку C=(E,B,dim), где E — произвольное множество, B — антисимметричное, иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение ограничивания между элементами множества E, а dim: E \to \N — функция, присваивающая неотрицательное число каждому элементу из E таким образом, что если B(a, b), то справедливо: dim(a) < dim(b). «Клеточный комплекс» в определении Уайтхеда (1939) требует отделимости пространства и гомеоморфность клеток единичному евклидову кубу соответствующей размерности[5], в дальнейшем используя эту конструкцию для определения CW-комплекса[6]. Александров в книге «Комбинаторная топология» (1941, первое издание вышло в 1947 году[7]), определяя «клеточный комплекс», наложил требования наличия в комплексе противоположной клетки и определённости коэффициента инцидентности между каждой парой клеток соседних размерностей (тем самым максимально приблизив к симплициальному комплексу).

С 1989 года абстрактные комплексы в определении Стейница используются в исследованиях проблематики компьютерного анализа изображений[8][9][10].

Свойства[править | править вики-текст]

Топология абстрактных комплексов основана на частичном порядке на множестве его точек или клеток. В отличие от симплициального комплекса, элементы абстрактного комплекса не являются симплексами, в частности, n-мерный элемент абстрактного комплекса не обязательно имеет n+1 нульмерных сторон и не каждое подмножество множества нульмерных сторон является клеткой. Благодаря этому понятие абстрактного клеточного комплекса может быть применено к двух- и трёхмерным решёткам, широко используемым в обработке изображений, тогда как для симплициального комплекса это невозможно. В абстрактном комплексе можно ввести координаты, потому что существуют несимплициальные комплексы, являющиеся декартовыми произведениями таких «линейных» связных одномерных комплексов, в которых каждая (кроме двух) нульмерная клетка ограничивает ровно две одномерные клетки. Только декартовы комплексы позволяют ввести такие координаты, что каждая клетка имеет набор координат и две различные клетки имеют всегда разные наборы координат. Набор координат может служить «именем» (идентификатором) клетки, что важно для обработки комплексов. Абстрактные комплексы позволяют кроме того ввести классическую топологию (топологию Александрова) в решётки, которые служат основой обработки изображений, благодаря чему становится возможным дать точные определения топологических понятий связности и границы подмножества. Размерность клеток определяется в общем случае иначе, чем в симплициальных комплексах.

Основное отличие от клеточных комплексов, применяемых в алгебраической топологии в том, что абстрактный комплекс не накладывает требований к отделимости пространства. Это важно для работы с компьютером, которому невозможно предъявить недискретные отделимые пространства.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Listing J.: «Der Census räumlicher Complexe». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, том 10, Göttingen, 1862, стр. 97-182.
  2. Steinitz E.: «Beitraege zur Analysis». Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft, том 7, 1908, стр. 29-49.
  3. Tucker A.W.: «An abstract approach to manifolds», Annals Mathematics, v. 34, 1933, стр. 191—243.
  4. Reidemeister K.: «Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe». Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 1938 (2-е издание 1953)
  5. Клеточный комплекс — статья из Математической энциклопедии. Д. О. Баладзе
  6. Впоследствии в алгебраической топологии «клеточными комплексами» стали называть CW-комплексы
  7. Александров П. С. Комбинаторная топология. ГИТТЛ, 1947
  8. Kovalevsky V.: «Finite Topology as Applied to Image Analysis», Computer Vision, Graphics and Image Processing, v. 45, No. 2, 1989, стр. 141—161.
  9. V. Kovalevski. Digital topology with applications of cell complexes to image analyzis
  10. Klette R. and Rosenfeld. A.: «Digital Geometry», Elsevier, 2004.