Автономная система дифференциальных уравнений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:

или в векторной записи:

Приведение к автономному виду[править | править вики-текст]

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию , заменив ею аргумент там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с на , что усложняет структуру семейства решений.

Свойства автономной системы[править | править вики-текст]

Если - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. , и не зависят от выбора начального значения аргумента .

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.