Адиабатический инвариант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном, «адиабатическом», изменении некоторых параметров физической системы. Адиабатичность изменения параметра означает, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе[1].

Классическая механика[править | править вики-текст]

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом T и зависит от параметра λ, адиабатичность изменения параметра определяется условием

.

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

Внутренние переменные q и p меняются со временем быстро, с периодом T. Но энергия системы E является интегралом движения при неизменном параметре λ. При изменении параметра во времени

.

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр λ неизменен.

,

где усреднение определено как

.

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной q:

.

В таком случае период T равен

,

где интегрирование проводится вперед и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс, как функцию энергии E, координаты q и параметра, после некоторых преобразований можно получить

.

Окончательно, можно записать

,

где величина

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами и . Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория[2] является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

Пример. Гармонический осциллятор[править | править вики-текст]

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

где — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии и поэтому имеет вид

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями и , соответственно его площадь, делённая на , равна . Таким образом, величина является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта[править | править вики-текст]

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделенном на 2π .

или

,

где ω — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дыхне А. М. Адиабатические инварианты // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. Ааронова—Бома эффект — Длинные линии. — С. 26. — 704 с. — 100 000 экз.
  2. Фазовая траектория — совокупность точек с координатами, равными значениям, которые принимают величины и в процессе движения системы.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 199-202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.