Алгебраическая система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Алгебраическая система в универсальной алгебре — множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

-арная операция на  — это отображение прямого произведения экземпляров множества в само множество . По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы, факторкольца, факторешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфзиме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры, уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры», в частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями, при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы) уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Основные классы алгебраических систем[править | править код]

  • Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений[1].

Группоиды, полугруппы, группы[править | править код]

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение имеет единственное решение для любых и .
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
  • Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом , таким, что .
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
  • Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
  • Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .
  • Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца[править | править код]

  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: .
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.
  • Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  • Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры[править | править код]

Решётки[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15

Литература[править | править код]