Алгебраическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция называется алгебраической в точке , если существует окрестность точки , в которой верно тождество

где есть многочлен от переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного является алгебраической на интервале в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

Существует аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком или с двумя вырезанными лучами и . В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Частными случаями алгебраических функций являются:

Алгебраические и трансцендентные числа[править | править вики-текст]

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например,  — алгебраическое иррациональное число, а  — трансцендентное иррациональное число.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.