Алгебраически замкнутое поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Алгебраически замкнутое полеполе , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. При этом существование алгебраического замыкания существенно зависит от аксиомы выбора: существуют модели теории множеств без аксиомы выбора, где есть поля, не обладающие алгебраическим замыканием.

Свойства[править | править код]

  • В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени имеет ровно (с учётом кратности) корней в . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов имеет степень .
  • Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен , где — количество элементов поля. Корнями данного многочлена являются все элементы поля. Если к нему прибавить , то полученный многочлен не будет иметь корней.
  • Алгебраическим замыканием поля в его расширении называется поле всех алгебраических над элементов . Алгебраическое замыкание поля в алгебраически замкнутом поле является алгебраически замкнутым, и более того, его алгебраическим замыканием.
  • Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
  • Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
  • Алгебраическим замыканием конечного поля является поле .
  • Алгебраическое замыкание поля рациональных дробей называется полем алгебраических функций. Элементы такого поля функциями в обычном смысле не являются, однако такое название довольно часто встречается в литературе.
  • Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Конструкция[править | править код]

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле . Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим как множество всех неприводимых многочленов над полем . Каждому многочлену поставим в соответствие переменную . Обозначим за множество всех таких переменных . Образуем кольцо многочленов . Можно показать, что идеал , порождённый всеми многочленами вида , не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу , содержающему идеал (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле . Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем .

На поле можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля и получим поле . Повторяя это раз можно получить поле . Таким образом, мы имеем башню полей:

Объединение всех этих полей даст поле . Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.[1]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.