Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением элемента $\ a_{ij}$ матрицы $\ A$ называется число

$\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$,

где $\ M_{ij}$ — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $\ A$ путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы $A$ может быть представлен в виде суммы

$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть $\ \sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0$ при $i_{1}\neq i_{2}$ и $j_{1}\neq j_{2}$.

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
• транспонировать полученную матрицу — в результате будет получена союзная матрица,
• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

См. также

• Минор
• Дополнительный минор
• Определитель