Алгебра Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

А́лгебра Ли — объект общей алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (18421899).

Определение[править | править вики-текст]

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство \mathfrak{L} над полем K, снабжённое билинейным отображением

\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

3-мерное векторное пространство[править | править вики-текст]

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли[править | править вики-текст]

Если V — конечномерное векторное пространство над K (\mathrm{dim}\;V=n), то множество его линейных преобразований \mathrm{End}\;V — также векторное пространство над K. Оно имеет размерность \mathrm{dim}(\mathrm{End}\;V)=n^2 и может быть представлено как пространство матриц n\times n. В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой [x,y]=xy-yx. Пространство \mathrm{End}\;V с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают \mathfrak{gl}\;(V). Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение \mathfrak{gl}\;(V). Любая подалгебра в \mathfrak{gl}\;(V) называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле[править | править вики-текст]

Пусть \mathfrak{A} — произвольная ассоциативная алгебра над K с умножением: (x,y)xy. Она обладает естественной структурой алгебры Ли над K, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: [x, y] = xy - yx, это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей[править | править вики-текст]

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавалентными способами.

[X, Y] \equiv L_X Y.
  • Если на многообразии задана локальная система координат  (t_1,...,t_n), то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен
[X, Y]^i = X^j \partial_j Y^i - Y^j \partial_j X^i,
где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и
\partial_j Y^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}Y^i(t_1,...,t_n),
\partial_j X^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}X^i(t_1,...,t_n)
частные производные от функций Y^i(t_1,...,t_n),X^i(t_1,...,t_n) вдоль направлений tj.
  • Выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать, что
[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X,
где X, Y — векторные поля, а \nabla_X — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.
  • Векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и, значит, задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow L_X [Y,Z] = [L_X Y, Z] + [Y, L_X Z].

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли[править | править вики-текст]

Дифференцированием в алгебре \mathfrak{A} называется линейное отображение \delta:\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}, удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения \delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b. Совокупность всех дифференцирований \operatorname{Der}\;\mathfrak{A} является векторным подпространством в \operatorname{End}\;\mathfrak{A}. Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому \operatorname{Der}\;\mathfrak{A} — подалгебра в \mathfrak{gl(A)}.

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли L. В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры L вида \operatorname{ad}\;x\colon y\to[x, y]; x, y \in L. Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение L\to\operatorname{Der}\;L;\; x\mapsto\operatorname{ad}\;x называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в \operatorname{Der}(L) подалгебру \operatorname{ad}\;L, изоморфную факторалгебре L/Z(L) алгебры L по её центру Z(L):=\{x \in L \mid [x,y] = 0; \forall y\in L\}.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]