Алгоритм Бога

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгори́тм Бо́га — понятие, возникшее в ходе обсуждения способов решения кубика Рубика. Термин может также быть использован в отношении других перестановочных головоломок. Под алгоритмом Бога головоломки подразумевается любой алгоритм, который позволяет получить решение головоломки, содержащее минимально возможное число ходов (оптимальное решение), начиная с любой заданной конфигурации.

Один из пионеров математической теории кубика Рубика Дэвид Сингмастер[1] так описывает появление термина:

Джон Конвей, один из крупнейших специалистов по теории групп в мире, отметил, что Кубик подчиняется так называемым законам сохранения (или чётности), а это означает, что некоторые движения просто невозможны. Либо Конвей, либо один из его коллег в Кембридже определил кратчайший путь из любого данного состояния назад к начальному состоянию как «Алгоритм Бога».

Дэвид Сингмастер[2]

Определение[править | править вики-текст]

Алгоритм Бога может существовать для головоломок с конечным числом возможных конфигураций и с конечным набором «ходов», допустимых в каждой конфигурации и переводящих текущую конфигурацию в другую. Термин «решить головоломку» означает — указать последовательность ходов, переводящих некоторую начальную конфигурацию в некоторую конечную конфигурацию. Оптимально решить головоломку — указать самую короткую последовательность ходов для решения головоломки. Оптимальных решений может быть несколько.

К известным головоломкам, подпадающим под это определение, относятся кубик Рубика, Ханойская башня, Пятнашки, Солитер с фишками (англ.), различные задачи о переливании и перевозке («Волк, коза (овца) и капуста»). Общим для всех этих головоломок является то, что они могут быть описаны в виде графа, вершинами которого являются всевозможные конфигурации головоломки, а рёбрами — допустимые переходы между ними («ходы»).

Во многих подобных головоломках конечная конфигурация негласно предполагается, например, в «пятнашках» — упорядоченное расположение косточек, для кубика Рубика — одноцветность граней. В этих случаях «собрать головоломку» означает, что требуется для произвольной начальной конфигурации указать последовательность ходов, приводящих в фиксированную конечную конфигурацию.

Алгоритм решает головоломку, если он принимает в качестве исходных данных произвольную пару начальной и конечной конфигураций (или только начальную конфигурацию, если конечная конфигурация зафиксирована) и возвращает в качестве результата последовательность ходов, переводящих начальную конфигурацию в конечную (если такая последовательность существует, в противном случае, алгоритм сообщает о невозможности решения). Оптимальное решение содержит минимально возможное количество ходов.

Тогда алгоритм Бога (для данной головоломки) — это алгоритм, который решает головоломку и находит для произвольной пары конфигураций хотя бы одно оптимальное решение.

Некоторые авторы считают, что алгоритм Бога должен также быть практичным, то есть использовать разумный объём памяти и завершаться в разумное время.

Пусть G — группа перестановочной головоломки (с заданным порождающим множеством), v — вершина графа Кэли группы G. Найти эффективный, практичный алгоритм для определения пути из v в вершину v0, связанную с нейтральным элементом, длина которого равна расстоянию от v до v0. [...] Этот алгоритм называется алгоритмом Бога.

— Дэвид Джойнер[3]

Практичность можно понимать по-разному. Так, существуют компьютерные программы, позволяющие за приемлемое время найти оптимальное решение для произвольной конфигурации кубика Рубика[4]. В то же время аналогичная задача для кубика 4×4×4 на данный момент остаётся практически неосуществимой[5][6][7]. Для некоторых головоломок существует стратегия, позволяющая в соответствии с простыми правилами определить оптимальное решение вручную, без помощи компьютера.

Альтернативное определение алгоритма Бога: от алгоритма не требуется нахождения всей последовательности ходов; вместо этого достаточно найти первый ход оптимального решения, приближающий к цели и переводящий в новую конфигурацию. Два определения являются эквивалентными: повторное применение алгоритма к новой паре конфигураций снова находит ход оптимального решения, что позволяет получить всю последовательность ходов оптимального решения.

Число Бога[править | править вики-текст]

Числом Бога данной головоломки называется число n, такое, что существует хотя бы одна конфигурация головоломки, оптимальное решение которой состоит из n ходов, и не существует ни одной конфигурации, длина оптимального решения которой превышает n. Другими словами, число Бога — это точная верхняя грань множества длин оптимальных решений конфигураций головоломки.

Число Бога для кубика Рубика равно 20 — это диаметр графа Кэли группы кубика Рубика[8].

В общем случае (для произвольной перестановочной головоломки), число Бога равно не диаметру графа Кэли группы головоломки, а эксцентриситету вершины, соответствующей «собранному» состоянию головоломки.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Кубик Рубика 3×3×3 всегда может быть решён не более чем в 20 ходов (считая за один ход поворот любой из 6 граней на 90 или 180 градусов). Известны конфигурации (англ.), требующие для сборки не менее 20 ходов. Таким образом, «число Бога» кубика Рубика равно 20[9].
  • Если разрешены лишь повороты граней на 90 градусов (но не на 180 градусов), «число Бога» кубика Рубика равно 26[10].
  • Число Бога кубика Рубика 2×2×2 равно 11 ходам, если поворот грани на 180° считается за 1 ход, или 14 ходам, если поворот грани на 180° считается за 2 хода. Небольшое (3674160) количество конфигураций кубика Рубика 2×2×2 позволило вычислить алгоритм Бога (в виде оптимального решения для каждой конфигурации) ещё в 80-х годах[11].
  • Трёхцветный кубик — кубик Рубика, противоположные грани которого окрашены одинаково. Число конфигураций трёхцветного кубика равно
2^{11}\cdot 3^7\cdot C_{12}^4\cdot (C_8^4)^2=10\ 863\ 756\ 288\ 000
В марте-апреле 2012 года было установлено, что число Бога трёхцветного кубика равно 15 FTM, 17 QTM или 14 STM (согласно метрике STM, поворот любого среднего слоя также считается за 1 ход)[13].
  • Пятнашки могут быть решены в 80 «коротких»[14] или 43 «длинных»[15] ходов в худшем случае (под «короткими» ходами подразумеваются перемещения отдельных костяшек, а под «длинными» — перемещения целых рядов из 1, 2 или 3 костяшек). Для обобщённых пятнашек (с бо́льшим, чем 15, количеством костяшек) задача поиска кратчайшего решения является NP-полной[16].
  • Для Ханойской башни алгоритм Бога существует при любом количестве дисков, но с добавлением дисков число ходов растёт экспоненциально[17].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. История кубика Рубика. Проверено 20 июля 2013. Архивировано из первоисточника 4 сентября 2013.
  2. Jerry Slocum, David Singmaster, Wei-Hwa Huang, Dieter Gebhardt, Geert Hellings. The Cube: The Ultimate Guide to the World's Bestselling Puzzle — Secrets, Stories, Solutions. — 2009. — С. 26. — 142 с.
  3. David Joyner. Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys. — 2008. — С. 149. — 328 с.
  4. Herbert Kociemba. Cube Explorer. Проверено 27 июля 2013. Архивировано из первоисточника 4 сентября 2013.
  5. Bigger rubik cube bound
  6. 4x4x4 algorithm generator? (like cube explorer)
  7. 4x4 Algorithms
  8. Weisstein, Eric W. God's Number.
  9. Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; and Dethridge, J. God's Number is 20 (англ.). Проверено 19 июля 2013. Архивировано из первоисточника 27 июля 2013.
  10. Rokicki, T. and Davidson, M. God's Number is 26 in the Quarter-Turn Metric (англ.). Проверено 2 июля 2015.
  11. Jaap Scherphuis. Mini Cube, the 2×2×2 Rubik's Cube (англ.). Проверено 21 июля 2013. Архивировано из первоисточника 4 сентября 2013.
  12. Jaap Scherphuis. Pyraminx (англ.). Проверено 21 июля 2013. Архивировано из первоисточника 29 августа 2013.
  13. Some 3-color cube results. Domain of the Cube Forum. Проверено 29 июля 2013. Архивировано из первоисточника 4 сентября 2013.
  14. A. Brüngger, A. Marzetta, K. Fukuda and J. Nievergelt, The parallel search bench ZRAM and its applications, Annals of Operations Research 90 (1999), pp. 45-63.
  15. Bruce Norskog. The Fifteen Puzzle can be solved in 43 "moves" Domain of the Cube Forum (англ.) (Wed, 12/08/2010 - 16:43). Проверено 20 июля 2013. Архивировано из первоисточника 4 сентября 2013.
  16. Daniel Ratner, Manfred K. Warmuth (1986). «Finding a shortest solution for the N × N extension of the 15-puzzle is intractable». in Proceedings AAAI-86. National Conference on Artificial Intelligence, 1986. pp. 168—172.
  17. Carlos Rueda, «An optimal solution to the Towers of Hanoi Puzzle».

Ссылки[править | править вики-текст]