Алгоритм Метрополиса — Гастингса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Метрополиса — Гастингса — алгоритм семплирования, использующийся, в основном, для сложных функций распределения. Он отчасти похож на алгоритм выборки с отклонением, однако здесь вспомогательная функция распределения меняется со временем. Алгоритм был впервые опубликован Николасом Метрополисом в 1953 году, и затем обобщён К. Гастингсом в 1970 году. Семплирование по Гиббсу является частным случаем алгоритма Метрополиса — Гастингса и более популярно за счёт простоты и скорости, хотя и реже применимо.

Алгоритм Метрополиса-Гастингса позволяет семплировать любую функцию распределения. Он основан на создании цепи Маркова, то есть на каждом шаге алгоритма новое выбранное значение зависит только от предыдущего . Алгоритм использует вспомогательную функцию распределения , зависящую от , для которой генерировать выборку просто (например, нормальное распределение). На каждом шаге для этой функции генерируется случайное значение . Затем с вероятностью

(или с вероятностью 1, если ), выбранное значение принимается как новое: , а иначе оставляется старое: .

Например, если взять нормальную функцию распределения как вспомогательную функцию, то

Такая функция выдаёт новое значение в зависимости от значения на предыдущем шаге. Изначально алгоритм Метрополиса требовал, чтобы вспомогательная функция была симметрична: , однако обобщение Гастингса снимает это ограничение.

Алгоритм[править | править вики-текст]

Пусть мы уже выбрали случайное значение . Для выбора следующего значения сначала получим случайное значение для функции . Затем найдем произведение , где

является отношением вероятностей между промежуточным значением и предыдущим, а

это отношение между вероятностями пойти из в или обратно. Если симметрична, то второй множитель равен 1. Случайное значение на новом шаге выбирается по правилу:

Алгоритм стартует из случайного значения , и сначала прогоняется «вхолостую» некоторое количество шагов, чтобы «забыть» о начальном значении.

Лучше всего алгоритм работает тогда, когда форма вспомогательной функции близка к форме целевой функции . Однако добиться этого априори зачастую невозможно. Для решения этой проблемы вспомогательную функцию настраивают в ходе подготовительной стадии работы алгоритма. Например, для нормального распределения настраивают его параметр так, чтобы доля «принятых» случайных значений (то есть тех, для которых ) была близка к 60 %. Если слишком мала, то значения будут получаться слишком близкими и доля принятых будет высока. Если слишком велика, то с большой вероятностью новые значения будут выскакивать в зоны малой вероятности , отчего доля принятых значений окажется низкой.